Bzoj2820 yy的gcd

Posted by yjjr's blog on December 13, 2017

标签:莫比乌斯反演

题目

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Description 神犇YY虐完数论后给傻×kAc出了一题给定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对kAc这种 傻×必然不会了,于是向你来请教……多组输入 Input 第一行一个整数T 表述数据组数接下来T行,每行两个正整数,表示N, M Output T行,每行一个整数表示第i组数据的结果 Sample Input 2

10 10

100 100

Sample Output 30

2791

HINT

T = 10000

N, M <= 10000000

分析

我们枚举每一个质数

$ ans=\sum_{p}^{min(n,m)} \sum_{d=1}^{min(n,m)} \mu (d) \lfloor n/pd \rfloor \lfloor m/pd \rfloor $

直接这样做显然会TLE

换元,令$K=pd$

$ ans=\sum_{K=1}^n \sum_{p\ and\ p k} \mu(k/p) \lfloor n/k\rfloor\lfloor m/k\rfloor$
令$f[k]=\sum_{p\ and\ p k} \mu(k/p)$

然后可以线性筛预处理f+分块,复杂度接近O(n)

code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ll long long
#define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x)
using namespace std;
inline ll read()
{
	ll f=1,x=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
const int maxn=1e7+6;
bool is_prime[maxn];
int prime[maxn],mu[maxn],cnt=0;
ll f[maxn];

void getF()
{
	mu[1]=1;
	rep(i,2,maxn-6){
		if(!is_prime[i])prime[++cnt]=i,mu[i]=-1;
		rep(j,1,cnt){
			if(prime[j]*i>maxn-6)break;
			is_prime[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0){mu[i*prime[j]]=0;break;}
			else mu[i*prime[j]]=-mu[i];
		}
	}
	rep(i,1,cnt)
		rep(j,1,(maxn-6)/prime[i])f[j*prime[i]]+=mu[j];
	rep(i,1,maxn-1)f[i]+=f[i-1];
}

ll cal(int n,int m)
{
	ll ans=0,pos;
	if(n>m)swap(n,m);
	for(int i=1;i<=n;i=pos+1){
		pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
		ans+=(f[pos]-f[i-1])*(n/i)*(m/i);
	}
	return ans;
}
int main()
{
	getF();
	int Que=read();
	while(Que--)
	{
		int n=read(),m=read();
		printf("%lld\n",cal(n,m));
	}
	return 0;
}
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