Bzoj2440 [中山市选2011]完全平方数

Posted by yjjr's blog on December 14, 2017

标签:莫比乌斯反演,二分,容斥原理

题目

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Description

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是,他十分讨厌完全平方数。他觉得这些 数看起来很令人难受。由此,他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而 这丝毫不影响他对其他数的热爱。 这天是小X的生日,小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一 个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数,然后选取了第 K个数送给了 小X。小X很开心地收下了。 然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗? Input

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T,表示测试 数据的组数。 第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki,描述一组数据,含义如题目中所描述。 Output

含T 行,分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的 第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。 Sample Input 4

1

13

100

1234567 Sample Output 1

19

163

2030745 HINT

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9

, T ≤ 50

分析

二分答案,问题转化为求[1,x]范围内有多少个无平方因子数

求[1,x]的无平方因子数个数可以用总数减掉完全平方数个数。

计算完全平方数的个数用容斥原理:首先加上$n/(22)+n/(33)+n/(55)+n/(77)……$然后减掉出现两次的,然后加上三次的,以此类推。

$ sum=\sum_{i=1}^{\sqrt x} \mu(i) \lfloor x/i^2\rfloor$

这就是莫比乌斯函数的应用

code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define rep(i,a,b) for(ll i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(ll i=a;i>=b;i--)
#define ll long long
#define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x)
#define inf 1844387848
using namespace std;
inline ll read()
{
    ll f=1,x=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
const int maxn=50006;
ll cnt=0,mu[maxn],prime[maxn];
bool is_prime[maxn];
 
void getmu()
{
    mu[1]=1;
    rep(i,2,maxn-6){
        if(!is_prime[i])prime[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        rep(j,1,cnt){
            if(prime[j]*i>maxn-6)break;
            is_prime[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){mu[i*prime[j]]=0;break;}
            else mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
 
ll cal(ll x)
{
    ll sum=0, t=sqrt(x);
    rep(i,1,t)sum+=x/(i*i)*mu[i];
    return sum;
}
 
int main()
{
    getmu();
    ll Que=read();
    while(Que--){
        ll x=read();
        ll l=x,r=inf,mid,ans;
        while(l<=r){
            mid=(l+r)/2;
            if(cal(mid)>=x)r=mid-1,ans=mid;
            else l=mid+1;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}
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