平衡树学习笔记

Posted by yjjr's blog on December 18, 2017

noip前整个机房除了我都在学treap,都相信noip2017会考平衡树

可是我不相信

然而真的考了平衡树(非正解)

现在整个机房就我在学平衡树(其他人都是英才计划某大学教授的影响去搞开(xie)发(jiao)了,好好一门竞赛,全机房除了我和常老师都在搞开发,这什么情况qwq)

非旋treap(fhq treap)

我真的没有先学splay,第一个接触的平衡树是非旋treap

概念

它的每个节点的权值val满足排序二叉树的性质,随机权值key满足堆的性质。由于key是随机的所以它总体上来说是平衡的

非旋的treap有两个基本操作

合并:merge(x,y)将x,y合并

分裂:splite(x,val,new1,new2)将以x为根节点的树按照w < val和w>=val分成两个子树new1,new2

具体操作

merge(x,y)

  • 若x的key< y的key则将x的右儿子变为merge(x的右儿子,y)(即merge(tree[x].r,y))
  • 否则将y的左儿子变为merge(x,y的左儿子)(即merge(x,tree[y].l))

split(x,val,new1,new2)

  • 若t[x].w<val那么说明val的分界点在x右子树,new1=x,splite(t[x].r,val,t[x].r,new2);
  • 否则说明val的分界点在x或其左子树上,new2=x;splite(t[x].l,val,new1,t[x].l);

插入操作

找到x所在位置,将其分开,再合并(l,x) (x,r)

删除操作

找到x所在位置,将其与左右分开,然后再合并左右两部分

code(bzoj3224普通平衡树)

模板中包括查询,求前驱后继,插入,删除功能

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ll long long
#define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x)
using namespace std;
inline ll read()
{
	ll f=1,x=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
const int maxn=1e5+6;
struct tree{int l,r,size,w,f;}t[maxn<<1];
int n,len=0,root=0;
inline int getrank(){return (rand()<<16)+rand();}
void change(int x){
	if(x==0)return;
	t[x].size=t[t[x].l].size+t[t[x].r].size+1;
}
int merge(int x,int y){
	if(x==0||y==0)return x+y;
	if(t[x].f>t[y].f){
		t[x].r=merge(t[x].r,y);change(x);return x;}
	else{t[y].l=merge(x,t[y].l);change(y);return y;}
}
void splite(int x,int val,int &new1,int &new2){
	if(x==0){new1=0;new2=0;return;}
	if(t[x].w<val){
		new1=x;splite(t[x].r,val,t[x].r,new2);
	}else{new2=x;splite(t[x].l,val,new1,t[x].l);}
	change(x);
}
int insert(int now,int want){
	if(now==0)return want;
	if(t[now].f>t[want].f){
		if(t[now].w<t[want].w)t[now].r=insert(t[now].r,want);else t[now].l=insert(t[now].l,want);
		change(now);return now;
	}
	splite(now,t[want].w,t[want].l,t[want].r);change(want);return want;
}

int find(int now,int want){
	if(t[t[now].l].size==want-1)return t[now].w;
	if(t[t[now].l].size>=want)return find(t[now].l,want);
	return find(t[now].r,want-t[t[now].l].size-1);
}
int findleft(int now){while(t[now].l)now=t[now].l;return t[now].w;}
int findright(int now){while(t[now].r)now=t[now].r;return t[now].w;}

int main()
{
	srand(1125);
	n=read();
	mem(t,0);
	rep(i,1,n){
		int opt=read();
		if (opt==1){int x=read();t[++len].f=getrank();t[len].w=x;t[len].size=1;root=insert(root,len);}
		else if(opt==2){int x=read(),new1,new2,new3;splite(root,x,new1,new2);splite(new2,x+1,new2,new3);root=merge(merge(new1,t[new2].l),merge(t[new2].r,new3));}
		else if(opt==3){int x=read(),new1,new2;splite(root,x,new1,new2);printf("%d\n",t[new1].size+1);root=merge(new1,new2);}
		else if(opt==4){int x=read();printf("%d\n",find(root,x));}
		else if(opt==5){int x=read(),new1,new2;splite(root,x,new1,new2);printf("%d\n",findright(new1));root=merge(new1,new2);}
		else{int x=read(),new1,new2;splite(root,x+1,new1,new2);printf("%d\n",findleft(new2));root=merge(new1,new2);}
	}
	return 0;
}

splay

终于来填splay的坑了

具体操作

rotate

最关键的操作就是旋转辣

其中要涉及儿子节点,父节点,爷爷节点(就是父节点的父节点辣)的关系变化

具体的可以参见zyf巨佬的博文,很详细http://blog.csdn.net/clove_unique/article/details/50630280

void rotate(int x,int &k)
{
	int y=fa[x],z=fa[y],l,r;
	if(c[y][0]==x)l=0;else l=1;r=l^1;
	if(y==k)k=x;
	else{if(c[z][0]==y)c[z][0]=x;else c[z][1]=x;}
	fa[x]=z;fa[y]=x;fa[c[x][r]]=y;
	c[y][l]=c[x][r];c[x][r]=y;
	pushup(y);pushup(x);
}

splay(x,k)

这个操作将x一直旋转到目标位置k,就是不停调用rotate,为了防止平衡树失衡,要判断下此时旋转条件

void splay(int x,int &k)
{
	while(x!=k){
		int y=fa[x],z=fa[y];
		if(y!=k){
			if(c[y][0]==x^c[z][0]==y)rotate(x,k);
			else rotate(y,k);
		}
		rotate(x,k);
	}
}

pushup/pushdown

传递区间翻转rev/区间更新tag标记,并更新左右子树大小,区间最大最小值

void pushup(int x)
{
	int l=c[x][0],r=c[x][1];
	size[x]=size[l]+size[r]+1;
	mx[x]=max(v[x],max(mx[l],mx[r]));
}

void pushdown(int x)
{
	int l=c[x][0],r=c[x][1],t=tag[x];
	if(t){
		tag[x]=0;
		if(l){tag[l]+=t;mx[l]+=t;v[l]+=t;}
		if(r){tag[r]+=t;mx[r]+=t;v[r]+=t;}
	}
	if(rev[x]){	
		rev[x]^=1;rev[l]^=1;rev[r]^=1;
		swap(c[x][0],c[x][1]);
	}
}

find

类似于二叉搜索树,寻找x子树中大小为rank的节点位置

int find(int x,int rank)
{
	if(rev[x]||tag[x])pushdown(x);
	int l=c[x][0],r=c[x][1];
	if(size[l]+1==rank)return x;
	else if(size[l]>=rank)return find(l,rank);
	else return find(r,rank-size[l]-1);
}

rever

最关键的区间翻转操作

先找到区间左右端点l,r在树中的位置,将l节点旋转到root根节点,r节点旋转到x节点(此时根节点位置)的右儿子

其实r节点的左儿子就是要求翻转的区间辣,打上rev标记就可以了

常老师问我了个神奇的问题:rev标记在rotate的过程中会不会出错

实际上我们在区间查询,更新最值操作时候都会把左右端点旋转到根节点位置,此时子树rev标记情况和原始一样,不会影响答案

void rever(int l,int r)
{
	int x=find(root,l),y=find(root,r+2);
	splay(x,root);splay(y,c[x][1]);
	int z=c[y][0];rev[z]^=1;
}

code(bzoj3223文艺平衡树)

偷鸡策略:能写fhq treap的时候决不写splay

给出完整代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ll long long
#define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x)
using namespace std;
inline ll read()
{
    ll f=1,x=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
const int maxn=1e5+6;
int n,m,sz,rt,fa[maxn],c[maxn][2],id[maxn],size[maxn];
bool rev[maxn];
void pushup(int k)
{
    int l=c[k][0],r=c[k][1];
    size[k]=size[l]+size[r]+1;
}
void pushdown(int k)
{
    int l=c[k][0],r=c[k][1];
    if(rev[k]){
        swap(c[k][0],c[k][1]);
        rev[l]^=1;rev[r]^=1;
        rev[k]=0;
    }
}
void rotate(int x,int &k)
{
    int y=fa[x],z=fa[y],l,r;
    if(c[y][0]==x)l=0;else l=1;
    r=l^1;
    if(y==k)k=x;
    else{
        if(c[z][0]==y)c[z][0]=x;
        else c[z][1]=x;
    }
    fa[x]=z;fa[y]=x;fa[c[x][r]]=y;
    c[y][l]=c[x][r];c[x][r]=y;
    pushup(y);pushup(x);
}
void splay(int x,int &k)
{
    while(x!=k){
        int y=fa[x],z=fa[y];
        if(y!=k){
            if(c[y][0]==x^c[z][0]==y)rotate(x,k);
            else rotate(y,k);
        }
        rotate(x,k);
    }
}
int find(int k,int rank)
{
    pushdown(k);
    int l=c[k][0],r=c[k][1];
    if(size[l]+1==rank)return k;
    else if(size[l]>=rank)return find(l,rank);
    else return find(r,rank-size[l]-1);
}
void rever(int l,int r){
    int x=find(rt,l),y=find(rt,r+2);
    splay(x,rt);splay(y,c[x][1]);
    int z=c[y][0];
    rev[z]^=1;
}
void build(int l,int r,int f)
{
    if(l>r)return;
    int now=id[l],last=id[f];
    if(l==r){
        fa[now]=last;size[now]=1;
        if(l<f)c[last][0]=now;
        else c[last][1]=now;
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;now=id[mid];
    build(l,mid-1,mid);build(mid+1,r,mid);
    fa[now]=last;pushup(mid);
    if(mid<f)c[last][0]=now;
    else c[last][1]=now;
}

int main()
{
    n=read(),m=read();
    rep(i,1,n+2)id[i]=++sz;
    build(1,n+2,0);rt=(n+3)>>1;
    rep(i,1,m){
        int l=read(),r=read();
        rever(l,r);
    }
    rep(i,2,n+1)printf("%d ",find(rt,i)-1);
    return 0;
}
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