组合数的求法总结

Posted by yjjr's blog on January 1, 2018

O(n^2)

杨辉三角递推

$C(i,j)=C(i-1,j)+C(i-1,j-1)$

题目详见NOIP2016D2T1

code

    for(int i=2;i<=maxn;i++)  
        for(int j=2;j<i;j++)  
            c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%k;  

利用乘法逆元

乘法逆元:$(a/b)\%p=a*(b^{p-2})$ (p为素数)

如果p为素数,那么k的逆元就是$k^(p-2)$

逆元可以利用扩展欧几里德或欧拉函数求得

$C(N,M)=N!/(M!*(N-M)!)$

那么可以先计算出N!,M!,(N-M)!对p取模的余数,那么转化为$a/b=x%p$的问题

因为p为素数,所以等价于$bx+py=a$

然后用扩展的欧几里得定理算出 $bx’+py’=1$的解,

$x=x’*a$

就得到了最终的x的值,即$C(m,n)%p$得值

题目详见雅礼集训题目

code

ll inv(ll a){
	return a==1?1:(ll)(p-p/a)*inv(p%a)%p;
}

ll C(ll n,ll m){
	if(m<0||n<m)return 0;if(m>n-m)m=n-m;
	ll up=1,down=1;
	rep(i,0,m-1){up=up*(n-i)%p;down=down*(i+1)%p;}
	return up*inv(down)%p;
}

Lucas求组合数

用Lucas定理求组合数,适用于模数p较小的情况

$Lucas(n,m,p)=C(n\%p,m\%p)*Lucas(n/p,m/p,p) $

题目详见洛谷2675

code

    void work()  
    {  
        fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;  
        rep(i,2,p-1)fac[i]=fac[i-1]*i%p;  //阶乘预处理
        rep(i,2,p-1)inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;  
        rep(i,1,p-1)inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%p;  //逆元预处理
    }  
    ll C(ll n,ll m)  
    {  
        if(n<m)return 0;  //舍去组合数无意义的情况
        if(n<p&&m<p)return fac[n]*inv[m]%p*inv[n-m]%p;  
        return C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p;  
    }  
本文可以转载,但必须附上原文链接,否则你会终生找不到妹子!!!欢迎关注我的CSDN: ahyjjr