notice:标注’*‘号的章节在OI中具有实际用处
直接在左边目录里寻找需要的部分就好了，本文较长
相关的练习题在我博客里直接搜索知识点就可以查询到
Part 1（应该算是NOIP范围内）
算术基本定理
唯一分解定理
任一正整数均可分解为素数的乘积，且若不计顺序，此分解方式唯一。
\[a=p_1^{a_1}*p_2^{a_2}…*p_n^{a_n}\]扩展
\(a*b=gcd(a,b)*lcm(a,b)\)
最基本的不定方程
定理1*
ax+by=n有整数解等价于gcd(a,b)|n ——也被称作裴蜀定理
定理2*
\(a,b>0,gcd(a,b)=1\) 则凡大于ab-a-b的数都可写作ax+by(x>=0,y>=0)，但ab-a-b不行。 ——NOIP2017D1T1的结论
欧几里得算法*
就是辗转相除法
\[gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)\]int gcd(int a,int b){
return b?gcd(b,a%b):a;
}
扩展欧几里得算法
\(gcd(a,b)=ax+by\) 这是一个不定方程，扩欧用来求x,y的整数解
证明（可以略去）
我们想求一组(x,y)使得gcd(a,b)=ax+by
根据b≠0 得到\(gcd(a,b)=gcd(b,a \mod b)\)
如果我们现在有x’,y’ 那么\(b*x’+(a mod b)*y’=gcd(b,a mod b)\)
那么我们可以钦定\(ax+by= b*x’+(amodb)*y’\ ①式\)
注意到\(a\mod b=a-⌊a/b⌋b\)
代入①式得： \(ax+by= b*x’+(a-⌊a / b⌋b)*y’\ ②式\)
注意到这个等式每一项只与a和b相关
魔改ing \(ax+by=a*y’+b*(x’- ⌊a/b⌋∗y′)\)
那么可以得出一组特解
\[x=y' , y=x’- ⌊a/b⌋∗y′\]这是一个递归的式子,找出递归基为b=0
当b=0时，\(ax+by=gcd(a,b)\) 可以得出\(x=1,y=0\)
证毕
code*
void exgcd(int a,int b,LL &x,LL &y){
if(b==0){x=1,y=0;return;}
exgcd(b,a%b,x,y);
LL t=x;
x=y,y=t-a/b*y;
}
欧拉函数
定义*
- 完系：m个剩余类每个取一个代表元，称为完全剩余系。
- 缩系：与m互素的各个等价类中取一个代表元，称为缩系。
phi（m）表示这样的数的个数，称为Euler函数。（表示小于a的正整数中与a互质的个数）
定理（Euler定理）&&推广
引理：\(a_1,a_2,a_3…a_{phi(m)}为一缩系\)\(gcd(k，m)=1，则将每个ai乘以k仍是缩系\)
\(若gcd(k,m)=1\) \(则k^{phi(m)}=1 (mod m)\) \(不假定k，m互素，有k^m=k^{m-phi(m)}(modm)\)
在上面添加m为素数的假定即为Fermat定理。
扩展：高次同余方程的阶：\(设x是使得a^x=1（mod m）成立的最小正整数，称x为a对m的阶。\)有Euler定理可知阶的存在性。
正经的欧拉函数表达式（OI中几乎没用）
显式表达式：\(若m=p_1^{a_1}*…p_n^{a_n}\) \(则phi(m)=m(1-1/p_1)(1-1/p_2)…(1-1/p_n)=p_1^{a_1-1}*…p_n^{a_n-1}\) 不做证明！！！
注意：\(Σ(d|m) phi(d)=m\)
求phi(i)*
对于phi的O(n)计算，记住这三条递推式就可以了（当然也要提前用筛法计算质数） \(1. 当x为质数时，phi[x]=x-1\) \(2. 当i mod x==0时（x为质数） phi[x*i]=phi[i]*prime[j]\) \(3. 当i mod x≠0时（x为质数） phi[x*i]=phi[i]*(prime[j]-1)\)
void shaker() {
int j;phi[1]=1;
rep(i,2,n){
if(!not_prime[i]){prime[++top]=i;phi[i]=i-1;}
for(j=1;j<=top&&i*prime[j]<=n;j++){
not_prime[prime[j]*i]=1;
if(i%prime[j]==0){phi[prime[j]*i]=phi[i]*prime[j];break;}
phi[prime[j]*i]=phi[i]*(prime[j]-1);
}
}
}
Lucas定理*
大组合数取模
定理：\(若n的p进制表示为（a0,a1…am）\)\(k为（b0,b1…bm） （允许前导零）\) \(则 c(n,k)=c(a0,b0)*c(a1,b1)*…*c(am,bm) \mod p\)
实际运用：\(C(n,m)=C(n/p,m/p)*C(n\%p,m\%p)\%p\)
void work()
{
fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
rep(i,2,p-1)fac[i]=fac[i-1]*i%p;
rep(i,2,p-1)inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
rep(i,1,p-1)inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%p;
} //逆元求法
二项式定理*
直接记结论：\((x+y)^n=\sum_{i=0}^n C_n^i x^i y^{n-i}\)
就是x+y的多项式乘法，系数就是杨辉三角
Part2（省选难度）
孙子定理（中国剩余定理）
定理
若m=gcd(m1,m2), 则x=a1 (mod m1)与x=a2 (mod m2)有公共解等价于gcd(m1,m2)整除a1-a2，且此时x对mod m有唯一解。
注意：一般只用他的特殊情形：m1，m2互素，此时此方程恒有解。
实际运用*
m1,m2…mn两两互素，则n个方程：x=ai（mod mi）在mod m1m2…mn意义下有唯一解。
上面只讨论了中国剩余定理的理论结果，但如何计算这个解呢？
令\(Mi=(m1*m2…*mn)/mi [i=1,2…n]\) \(再令bi为biMi=1(\mod mi)的解\)\(则a1b1M1+a2b2M2+…anbnMn即为所求\)
Pell方程
第一类佩尔方程*
定义：\(形如x^2-Dy^2=1的方程称为第一类佩尔方程，其中D为正整数。\)
定理：第一型佩尔方程一定有解，且若最小解是(x0,y0)，那么全体解可以写成下式： \(x_n+sqrt(D)y_n=(x_0+sqrt(D)y_0)^{n+1}\)
注意：由此还可以得到递推式 \(x_n+sqrt(D)y_n=(x_{n-1}+sqrt(D)y_{n-1})*(x_0+sqrt(D)y_0)\)
OI中可以先手算出一组解，即为(x0,y0)，然后递推求解
勾股方程*
定义：\(称x^2+y^2=z^2为勾股方程，其中x，y，z为正整数\)
勾股方程的通解为\(x=k(u^2-v^2)， y=2kuv ，z=k(u^2+v^2）\)
这里u，v为任意互素的正整数，u>v，k为任意正整数。且此时gcd(x,y,z)=k
这个结果在一些需要枚举勾股数的问题中是有用的
二次剩余
定义
m>1,若m，n互素，\(若x^2=n (\mod m)对x有解，则称n是m的二次剩余，否则，称为非二次剩余。\)
例：1,2,4为7的二次剩余；3,5,6为二次非剩余。
###勒让德符号 设p为大于2的素数，p不整除n。 若n是p的二次剩余，令（n/p）=1，否则为-1；
定理：素数p>2,则缩系中恰一半是二次剩余，另一半不是二次剩余。（证明需用到拉格朗日定理）
莫比乌斯反演*
公式
\(F(n)=\sum_{d\|n} f(d)\) \(f(n)=\sum_{d\|n} \mu(d) F(n/d)\)
\[其中\mu(d)为莫比乌斯函数\]Mobius函数μ(x)定义在正整数集上，定义如下 \(μ(n)=1 \ (n=1)\) \(μ(n)=(−1)^k \ (n=p_1p_2…p_k)\) \(μ(n)=0 \ (otherwise)\)
积性函数
积性函数：对于任意互质的整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数。
完全积性函数：对于任意整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数。
积性函数性质：
- f(1)=1
- 积性函数的前缀和也是积性函数
线性筛求莫比乌斯函数
mu[1]=1;
rep(i,2,maxn-6){
if(!is_prime[i])prime[++cnt]=i,mu[i]=-1;
rep(j,1,cnt){
if(prime[j]*i>maxn-6)break;
is_prime[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0){mu[i*prime[j]]=0;break;}
else mu[i*prime[j]]=-mu[i];
}
}
可以直接查看莫比乌斯反演相关题目 BZOJ2440 BZOJ1101 BZOJ2820 BZOJ2154
快速傅里叶变换FFT*
复数和复平面
\[其中i是方程x^2=-1的根，相当于\sqrt{-1} （注意只是相当于，易于理解！！！）\]我们把形如a+bi（a,b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数可以视为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。
\(将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作∣z∣\) \(即对于复数z=a+bi，它的模为\sqrt{a^2+b^2}\)
称复数z’=a-bi为z的共轭复数。即两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。
运算法则和普通多项式类似
复平面就是将z=a+bi在平面上表示为（a,b），x轴为实部单位1，y轴为虚部单位i
多项式的表达方式
系数表达和点值表达
系数表达就是大家常用的表达方式，点值表达就像在这个多项式函数上取n个不同的点，这样就可以确定原多项式。
举个栗子
我们通过三点可以确定一个二次函数，两点确定一条直线。一个n次多项式需要n个点(n次多项式意思是有0到n-1次幂的多项式)。
\[f(x)=x^2+2x-1可以被表达为{ ( 0 , -1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 7 ) }\]将多项式用点值表达可以快速加法和乘法
单位根
这样算出来的点值表示法，那么对应的求值点究竟是哪些呢？
答案是2n次单位根。
\[复数中1恰好有n个单位根e^{2k\pi i/n}\] \[e^{ix}=cos\ x+i\ sin\ x\]数学上，n次单位根是n次幂为1的复数。它们位于复平面的单位圆上，构成正n边形的顶点，其中一个顶点是1。
DFT和FFT
使用单位根计算点值表达式叫DFT（离散傅里叶变换）复杂度O(n^2)，FFT是其分治的优化版，复杂度O(n log n)
//以下部分看不懂的可以跳过（本部分引用自picks博客http://picks.logdown.com/posts/177631-fast-fourier-transform）
假如我们取单位根的幂进行转换，会有什么效果？
\begin{eqnarray}设A_0 (x)是A(x)的偶次项的和，A_1(x)是奇次项的和。\end{eqnarray}那么：
\begin{eqnarray}
A(\omega_{n}^{m})&=&A_0((\omega_{n}^{m})^{2})+\omega_{n}^{m}A_1((\omega_{n}^{m})^{2})
&=& A_0(\omega_{\frac{n}{2}}^{m})+\omega_{n}^{m}A_1(\omega_{\frac{n}{2}}^{m})
A(\omega_{n}^{m+\frac{n}{2}})&=&A_0((\omega_{n}^{m})^{2})+\omega_{n}^{m+\frac{n}{2}}A_1((\omega_{n}^{m})^{2})
&=& A_0(\omega_{\frac{n}{2}}^{m})-\omega_{n}^{m}A_1(\omega_{\frac{n}{2}}^{m})
\end{eqnarray}
即我们只要有了A0 (x)A1(x)的点值表示，就能在O(n)时间内算出A(x)的点值表示。
code
const int maxn=2e5+6;
typedef complex<double> E;
int n,m,L;
char ch[maxn];
int R[maxn],c[maxn];
E a[maxn],b[maxn];
void fft(E *a,int f)
{
rep(i,0,n-1)
if(i<R[i])swap(a[i],a[R[i]]);
for(int i=1;i<n;i<<=1){
E wn(cos(pi/i),f*sin(pi/i));
for(int j=0;j<n;j+=(i<<1)){
E w(1,0);
for(int k=0;k<i;k++,w*=wn){
E x=a[j+k],y=w*a[j+k+i];
a[j+k]=x+y;
a[j+k+i]=x-y;
}
}
}
if(f==-1)rep(i,0,n-1)a[i]/=n;
}
int main()
{
n=read();n--;
scanf("%s",ch);
rep(i,0,n)a[i]=ch[n-i]-'0';
scanf("%s",ch);
rep(i,0,n)b[i]=ch[n-i]-'0';
m=2*n;
for(n=1;n<=m;n<<=1)L++;
rep(i,0,n-1)R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
fft(a,1);fft(b,1);
rep(i,0,n)a[i]*=b[i];
fft(a,-1);
rep(i,0,m)c[i]=(int)(a[i].real()+0.1);
rep(i,0,m)
if(c[i]>=10){
c[i+1]+=c[i]/10,c[i]%=10;
if(i==m)m++;
}
dep(i,m,0)printf("%d",c[i]);
return 0;
}
BSGS*
BSGS算法，原名Baby Steps Giant Steps，又名大小步算法，拔山盖世算法，北上广深算法 ——by SLYZoier，数论基本算法之一。
问题
\[给定y,z,p，计算满足Y^x ≡ Z ( \mod P)的最小非负整数。\]题解
\[令x=km-i ,m=\lceil\sqrt P\rceil\] \[那么Y^{km}/Y^i\equiv Z\] \[移向得到(Y^m)^k\equiv {ZY^i}\pmod P\] \[从0−m枚举i，将得到的ZY^i的值存入hash表\] \[然后从1−m枚举i，计算(Y^m)^k\] \[查表，如果有值与之相等，则当时得到的mk-i是最小值\]code
if (B%P==0){
printf("no solution\n");
continue;
}
clear();
m=ceil(sqrt(P));
B_m=fast_pow(B,m);
mul=1;
now=mul*N%P;
hash[now]=0;
for (int j=1;j<=m;++j){
mul=mul*B%P;
now=mul*N%P;
hash[now]=j;
}
mul=1;
for (int i=1;i<=m;++i){
mul=mul*B_m%P;
if (hash[mul]){
pd=true;
ans=i*m-hash[mul];
printf("%lld\n",ans);
break;
}
}
if (!pd) printf("no solution\n");
