算法竞赛中的数学问题和结论

Posted by yjjr's blog on February 6, 2018

notice:标注’*‘号的章节在OI中具有实际用处

直接在左边目录里寻找需要的部分就好了,本文较长

相关的练习题在我博客里直接搜索知识点就可以查询到

Part 1(应该算是NOIP范围内)

算术基本定理

唯一分解定理

任一正整数均可分解为素数的乘积,且若不计顺序,此分解方式唯一。

扩展

最基本的不定方程

定理1*

ax+by=n有整数解等价于gcd(a,b)|n ——也被称作裴蜀定理

定理2*

则凡大于ab-a-b的数都可写作ax+by(x>=0,y>=0),但ab-a-b不行。 ——NOIP2017D1T1的结论

欧几里得算法*

就是辗转相除法

int gcd(int a,int b){
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

扩展欧几里得算法

这是一个不定方程,扩欧用来求x,y的整数解

证明(可以略去)

我们想求一组(x,y)使得gcd(a,b)=ax+by

根据b≠0 得到

如果我们现在有x’,y’ 那么

那么我们可以钦定

注意到

代入①式得:

注意到这个等式每一项只与a和b相关

魔改ing

那么可以得出一组特解

这是一个递归的式子,找出递归基为b=0

当b=0时, 可以得出

证毕

code*

void exgcd(int a,int b,LL &x,LL &y){  
    if(b==0){x=1,y=0;return;}  
    exgcd(b,a%b,x,y);  
    LL t=x;  
    x=y,y=t-a/b*y;  
}  

欧拉函数

定义*

  • 完系:m个剩余类每个取一个代表元,称为完全剩余系。
  • 缩系:与m互素的各个等价类中取一个代表元,称为缩系。 phi(m)表示这样的数的个数,称为Euler函数。(表示小于a的正整数中与a互质的个数)

    定理(Euler定理)&&推广

    引理:

在上面添加m为素数的假定即为Fermat定理。

扩展:高次同余方程的阶:有Euler定理可知阶的存在性。

正经的欧拉函数表达式(OI中几乎没用)

显式表达式: 不做证明!!!

注意

求phi(i)*

对于phi的O(n)计算,记住这三条递推式就可以了(当然也要提前用筛法计算质数)

void shaker()  {  
    int j;phi[1]=1;  
    rep(i,2,n){  
        if(!not_prime[i]){prime[++top]=i;phi[i]=i-1;}  
        for(j=1;j<=top&&i*prime[j]<=n;j++){  
            not_prime[prime[j]*i]=1;  
            if(i%prime[j]==0){phi[prime[j]*i]=phi[i]*prime[j];break;}  
            phi[prime[j]*i]=phi[i]*(prime[j]-1);  
        }  
    }  
} 

Lucas定理*

大组合数取模

定理:

实际运用:

void work()  
{  
    fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;  
    rep(i,2,p-1)fac[i]=fac[i-1]*i%p;  
    rep(i,2,p-1)inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;  
    rep(i,1,p-1)inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%p;  
} //逆元求法

二项式定理*

直接记结论:

就是x+y的多项式乘法,系数就是杨辉三角

Part2(省选难度)

孙子定理(中国剩余定理)

定理

若m=gcd(m1,m2), 则x=a1 (mod m1)与x=a2 (mod m2)有公共解等价于gcd(m1,m2)整除a1-a2,且此时x对mod m有唯一解。

注意:一般只用他的特殊情形:m1,m2互素,此时此方程恒有解。

实际运用*

m1,m2…mn两两互素,则n个方程:x=ai(mod mi)在mod m1m2…mn意义下有唯一解。

上面只讨论了中国剩余定理的理论结果,但如何计算这个解呢?

Pell方程

第一类佩尔方程*

定义:

定理:第一型佩尔方程一定有解,且若最小解是(x0,y0),那么全体解可以写成下式:

注意:由此还可以得到递推式

OI中可以先手算出一组解,即为(x0,y0),然后递推求解

勾股方程*

定义:

勾股方程的通解为

这里u,v为任意互素的正整数,u>v,k为任意正整数。且此时gcd(x,y,z)=k

这个结果在一些需要枚举勾股数的问题中是有用的

二次剩余

定义

m>1,若m,n互素,

例:1,2,4为7的二次剩余;3,5,6为二次非剩余。

###勒让德符号 设p为大于2的素数,p不整除n。 若n是p的二次剩余,令(n/p)=1,否则为-1;

定理:素数p>2,则缩系中恰一半是二次剩余,另一半不是二次剩余。(证明需用到拉格朗日定理)

莫比乌斯反演*

公式

Mobius函数μ(x)定义在正整数集上,定义如下

积性函数

积性函数:对于任意互质的整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数。

完全积性函数:对于任意整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数。

积性函数性质:

  1. f(1)=1
  2. 积性函数的前缀和也是积性函数

线性筛求莫比乌斯函数

    mu[1]=1;
    rep(i,2,maxn-6){
        if(!is_prime[i])prime[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        rep(j,1,cnt){
            if(prime[j]*i>maxn-6)break;
            is_prime[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){mu[i*prime[j]]=0;break;}
            else mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }

可以直接查看莫比乌斯反演相关题目 BZOJ2440 BZOJ1101 BZOJ2820 BZOJ2154

快速傅里叶变换FFT*

复数和复平面

我们把形如a+bi(a,b均为实数)的数称为复数,其中a称为实部,b称为虚部,i称为虚数单位。当虚部等于零时,这个复数可以视为实数;当z的虚部不等于零时,实部等于零时,常称z为纯虚数。

称复数z’=a-bi为z的共轭复数。即两个实部相等,虚部互为相反数的复数互为共轭复数。

运算法则和普通多项式类似

复平面就是将z=a+bi在平面上表示为(a,b),x轴为实部单位1,y轴为虚部单位i

多项式的表达方式

系数表达和点值表达

系数表达就是大家常用的表达方式,点值表达就像在这个多项式函数上取n个不同的点,这样就可以确定原多项式。

举个栗子

我们通过三点可以确定一个二次函数,两点确定一条直线。一个n次多项式需要n个点(n次多项式意思是有0到n-1次幂的多项式)。

将多项式用点值表达可以快速加法和乘法

单位根

这样算出来的点值表示法,那么对应的求值点究竟是哪些呢?

答案是2n次单位根。

数学上,n次单位根是n次幂为1的复数。它们位于复平面的单位圆上,构成正n边形的顶点,其中一个顶点是1。

DFT和FFT

使用单位根计算点值表达式叫DFT(离散傅里叶变换)复杂度O(n^2),FFT是其分治的优化版,复杂度O(n log n)

//以下部分看不懂的可以跳过(本部分引用自picks博客http://picks.logdown.com/posts/177631-fast-fourier-transform)

假如我们取单位根的幂进行转换,会有什么效果?

\begin{eqnarray}设A_0 (x)是A(x)的偶次项的和,A_1(x)是奇次项的和。\end{eqnarray}那么:

\begin{eqnarray} A(\omega_{n}^{m})&=&A_0((\omega_{n}^{m})^{2})+\omega_{n}^{m}A_1((\omega_{n}^{m})^{2})
&=& A_0(\omega_{\frac{n}{2}}^{m})+\omega_{n}^{m}A_1(\omega_{\frac{n}{2}}^{m})
A(\omega_{n}^{m+\frac{n}{2}})&=&A_0((\omega_{n}^{m})^{2})+\omega_{n}^{m+\frac{n}{2}}A_1((\omega_{n}^{m})^{2})
&=& A_0(\omega_{\frac{n}{2}}^{m})-\omega_{n}^{m}A_1(\omega_{\frac{n}{2}}^{m}) \end{eqnarray}

即我们只要有了A0 (x)A1(x)的点值表示,就能在O(n)时间内算出A(x)的点值表示。

code

BZOJ2179

const int maxn=2e5+6;
typedef complex<double> E;
int n,m,L;
char ch[maxn];
int R[maxn],c[maxn];
E a[maxn],b[maxn];

void fft(E *a,int f)
{
    rep(i,0,n-1)
        if(i<R[i])swap(a[i],a[R[i]]);
    for(int i=1;i<n;i<<=1){
        E wn(cos(pi/i),f*sin(pi/i));
        for(int j=0;j<n;j+=(i<<1)){
            E w(1,0);
            for(int k=0;k<i;k++,w*=wn){
                E x=a[j+k],y=w*a[j+k+i];
                a[j+k]=x+y;
                a[j+k+i]=x-y;
            }
        }
    }
    if(f==-1)rep(i,0,n-1)a[i]/=n;
}

int main()
{
    n=read();n--;
    scanf("%s",ch);
    rep(i,0,n)a[i]=ch[n-i]-'0';
    scanf("%s",ch);
    rep(i,0,n)b[i]=ch[n-i]-'0';
    m=2*n;
    for(n=1;n<=m;n<<=1)L++;
    rep(i,0,n-1)R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
    fft(a,1);fft(b,1);
    rep(i,0,n)a[i]*=b[i];
    fft(a,-1);
    rep(i,0,m)c[i]=(int)(a[i].real()+0.1);
    rep(i,0,m)
        if(c[i]>=10){
            c[i+1]+=c[i]/10,c[i]%=10;
            if(i==m)m++;
        }
    dep(i,m,0)printf("%d",c[i]);
    return 0;
}

BSGS*

BSGS算法,原名Baby Steps Giant Steps,又名大小步算法,拔山盖世算法,北上广深算法 ——by SLYZoier,数论基本算法之一。

问题

题解

code

        if (B%P==0){
            printf("no solution\n");
            continue;
        }

        clear();

        m=ceil(sqrt(P));
        B_m=fast_pow(B,m);

        mul=1;
        now=mul*N%P;
        hash[now]=0;
        for (int j=1;j<=m;++j){
            mul=mul*B%P;
            now=mul*N%P;
            hash[now]=j;
        }

        mul=1;
        for (int i=1;i<=m;++i){
            mul=mul*B_m%P;
            if (hash[mul]){
                pd=true;
                ans=i*m-hash[mul];
                printf("%lld\n",ans);
                break;
            }
        }

        if (!pd) printf("no solution\n");
本文可以转载,但必须附上原文链接,否则你会终生找不到妹子!!!欢迎关注我的CSDN: ahyjjr