Bzoj1096 [zjoi2007]仓库建设

Posted by yjjr's blog on February 6, 2018

标签:斜率优化

Description

  L公司有N个工厂,由高到底分布在一座山上。如图所示,工厂1在山顶,工厂N在山脚。由于这座山处于高原内
陆地区(干燥少雨),L公司一般把产品直接堆放在露天,以节省费用。突然有一天,L公司的总裁L先生接到气象
部门的电话,被告知三天之后将有一场暴雨,于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于
地形的不同,在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件,在第i个工厂位置建立仓库
的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂,其产品应被运往其他的仓库进行储藏,而由于L公司产品的对外销售处设
置在山脚的工厂N,故产品只能往山下运(即只能运往编号更大的工厂的仓库),当然运送产品也是需要费用的,
假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的,可以容下所有的产品。你将得到
以下数据:1:工厂i距离工厂1的距离Xi(其中X1=0);2:工厂i目前已有成品数量Pi;:3:在工厂i建立仓库的费用
Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案,使得总的费用(建造费用+运输费用)最小。

Input

  第一行包含一个整数N,表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

  仅包含一个整数,为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3

0 5 10

5 3 100

9 6 10

Sample Output

32

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库,建立费用为10+10=20,运输费用为(9-5)*3 = 12,总费用32。如果仅在工厂3建立仓库,建立费用为10,运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57,总费用67,不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据, N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内,保证中间计算结果不超过64位带符号整数。 

F[i]=min{f[j]+work(j+1,i)}

Work(j+1,i)表示将j+1到i的物品移往i的运输费用

难点就是在O(1)的时间内求出work(j+1,i)

可以利用前缀和的思想,sum[i]表示p[i]的前缀和

如果所有物品都从起始点0开始运到i,则费用为(sum[i]-sum[j])*x[i]

但由于物品的起始点不在0,那么每个物品可以少花费x[i]*p[i]

b[i]表示x[i]*p[i]的前缀和

那么f[i]=min(f[j]+(sum[i]-sum[j])*x[i]-(b[i]-b[j])+c[i]

如果j>k且j比k更优,斜率优化下

(f[j]-f[k]+b[j]-b[k])/ (sum[j]-sum[k])< x[i]

 

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define LL long long
#define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x)
using namespace std;
inline LL read()
{
    LL f=1,x=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
const int maxn=1e6+6;
LL n,head,tail,p[maxn],x[maxn],c[maxn],f[maxn],b[maxn],sum[maxn],q[maxn];
inline double slop(int k,int j)
{return (double)(f[j]-f[k]+b[j]-b[k])/(double)(sum[j]-sum[k]);}
 
int main()
{
    n=read();
    rep(i,1,n)x[i]=read(),p[i]=read(),c[i]=read();
    rep(i,1,n){sum[i]=sum[i-1]+p[i];b[i]=b[i-1]+p[i]*x[i];}
    rep(i,1,n){
        while(head<tail&&slop(q[head],q[head+1])<x[i])head++;
        int t=q[head];
        f[i]=f[t]-b[i]+b[t]+(sum[i]-sum[t])*x[i]+c[i];
        while(head<tail&&slop(q[tail-1],q[tail])>slop(q[tail],i))tail--;
        q[++tail]=i;
    }
    cout<<f[n]<<endl;
    return 0;
}



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