Bzoj1477 青蛙的约会

Posted by yjjr's blog on February 6, 2018

标签:数学,数论,扩展欧几里得

Description

两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上,不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙,你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面,会在什么时候碰面。我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B,并且规定纬度线上东经0度处为原点,由东往西为正方向,单位长度1米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x,y,m,n,L,其中x≠y < 2000000000,0 < m、n < 2000000000,0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数,如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

 

分析:通过题意可以推出来一个显而易见的式子

(x+time*n)-(y+time*m)=L*k

Time表示跳跃次数,k为一个常数

将time提出来,变形得

(n-m)*time+L*k=x-y

就变成了扩欧裸题

设a=n-m,b=l,c=x-y

A*time+b*k=c   ①式

求time

1.考虑无解的情况   c%gcd(a,b)!=0

2.有解    可以将①式两边同时除以gcd(a,b),会得到新的不定方程 A‘*time+b’*k=c’  ②式

        此时gcd(a’,b’)=1  可以用扩展欧几里得求出A‘*time+b’*k=1的一组正整数解

        将正整数解*c’就是②式的一组整数解

 

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define LL long long
#define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x)
using namespace std;
inline LL read()
{
	LL f=1,x=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
LL x,y,m,n,l,a,b,c,t;
LL gcd(LL a,LL b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}
void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
	if(b==0){x=1,y=0;return;}
	exgcd(b,a%b,x,y);
	LL temp=x;
	x=y,y=temp-a/b*y;
}

int main()
{
	x=read(),y=read(),m=read(),n=read(),l=read();
	a=n-m,b=l,c=x-y;
	t=gcd(a,b);
	if(c%t!=0){printf("Impossible\n");return 0;}//判断是否有解
	a/=t,b/=t,c/=t;
	exgcd(a,b,x,y);//扩欧
	x=((c*x)%b+b)%b;//计算整数解
    cout<<x<<endl;
	return 0;
}


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