Bzoj1485 [hnoi2009]有趣的数列

Posted by yjjr's blog on February 6, 2018

标签:数学,数论,卡特兰数,组合数,素数筛

Description

 我们称一个长度为2n的数列是有趣的,当且仅当该数列满足以下三个条件:

    (1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{ai}

    (2)所有的奇数项满足a1<a3<…<a2n-1,所有的偶数项满足a2<a4<…<a2n

    (3)任意相邻的两项a2i-1a2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项,即:a2i-1<a2i

    现在的任务是:对于给定的n,请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大,所以只要求输出答案 mod P的值。

Input

输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。输入数据保证,50%的数据满足n≤1000,100%的数据满足n≤1000000且P≤1000000000。

Output

仅含一个整数,表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。

Sample Input

    310                 

Sample Output

  5

    对应的5个有趣的数列分别为(1,2,3,4,5,6),(1,2,3,5,4,6),(1,3,2,4,5,6),(1,3,2,5,4,6),(1,4,2,5,3,6)。

大胆玄学猜想:答案就是卡特兰数!事实证明的确如此

具体证明:从左往右扫每个数,把放在奇数项看作入栈,放在偶数项看作出栈(妙不可言……)

然后需要O(n)求出卡特兰数

百度公式: F(n)=C(2n,n)/(n+1)

将C(2n,n)质因数分解,记录下每个质因数的个数,最后再相乘取模即可

 

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define LL long long
#define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x)
using namespace std;
inline LL read()
{
	LL f=1,x=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
const LL maxn=1e6+6;
LL ans=1,n,p,cnt=0;
LL prime[maxn],mn[maxn<<1],num[maxn<<1];
bool not_prime[maxn<<1];

void getpri()
{
	rep(i,2,2*n){
		if(!not_prime[i])prime[++cnt]=i,mn[i]=cnt;
		for(int j=1;prime[j]*i<=2*n&&j<=cnt;j++){
			not_prime[prime[j]*i]=1;mn[prime[j]*i]=j;
			if(i%prime[j]==0)break;
		}
	}
}

void add(int x,int f)
{
	while(x!=1){
		num[mn[x]]+=f;
		x/=prime[mn[x]];
	}
}

int main()
{
	n=read(),p=read();
	getpri();
	dep(i,2*n,n+1)add(i,1);
	rep(i,1,n)add(i,-1);
	add(n+1,-1);
	rep(i,1,cnt)
	    while(num[i]--)ans=(ans*prime[i])%p;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}



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