Bzoj3884 上帝与集合的正确用法

Posted by yjjr's blog on February 6, 2018

标签:欧拉函数,数学,数论,快速幂

Description

根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的:

第一天,      上帝创造了一个世界的基本元素,称做

第二天,      上帝创造了一个新的元素,称作“α”“α”被定义为构成的集合。容易发现,一共有两种不同的“α”

第三天,      上帝又创造了一个新的元素,称作“β”“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现,一共有四种不同的“β”

第四天,      上帝创造了新的元素“γ”“γ”被定义为“β”的集合。显然,一共会有16种不同的“γ”

如果按照这样下去,上帝创造的第四种元素将会有65536种,第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。

然而,上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来,因此,日复一日,年复一年,他重复地创造着新的元素……

然而不久,当上帝创造出最后一种元素“θ”时,他发现这世界的元素实在是太多了,以致于世界的容量不足,无法承受。因此在这一天,上帝毁灭了世界。

至今,上帝仍记得那次失败的创世经历,现在他想问问你,他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种?

上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来,因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。

你可以认为上帝从“α”“θ”一共创造了10^9次元素,或10^18次,或者干脆次。

一句话题意:

Input

接下来T行,每行一个正整数p,代表你需要取模的值

Output

T行,每行一个正整数,为答案对p取模后的值

Sample Input

3

2

3

6

Sample Output

0

1

4

HINT

对于100%的数据,T<=1000,p<=10^7

Source

ByPoPoQQQ

 

题意:2^(2^(2^(2^(2^...)))) mod p的值

 

分析:第一眼看题,woc这个出题人有毒吧

实际上把p看成2^k*q

可以套用欧拉定理

递归计算模数,最后再用快速幂就可以了

phi的时候可以用On),实测不会TLE

 

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x)
#define LL long long
using namespace std;
inline LL read()
{
	LL f=1,x=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
const int maxn=1e7+6;
int t,p,phi[maxn],prime[1000006],tot=0;
bool not_prime[maxn];
void getphi()
{
	int j;
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=10000000;i++){
		if(!not_prime[i]){prime[++tot]=i;phi[i]=i-1;}
		for(j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=10000000;j++){
			not_prime[prime[j]*i]=1;
			if(i%prime[j]==0){phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}
			else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
		}
	}
}//O(n)计算phi

int pow(LL a,LL b,int p)
{
	LL ans=1;a%=p;
	for(LL i=b;i;i>>=1,a=a*a%p)
		if(i&1)ans=ans*a%p;
	return ans;
}

int solve(int p)
{
	if(p==1)return 0;
	int k=0;
	while(~p&1)p>>=1,k++;
	int pp=phi[p],res=solve(pp);//递归计算solve的值
	res=(res+pp-k%pp)%pp;
	res=pow(2,res,p)%p;//快速幂
	return res<<k;
}

int main()
{
	getphi();
	t=read();
	while(t--){
		p=read();
		printf("%d\n",solve(p));
	}
	return 0;
}


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