Bzoj4008 [hnoi2015]亚瑟王

Posted by yjjr's blog on February 6, 2018

标签:数学期望,DP

Description

小 K 不慎被 LL 邪教洗脑了,洗脑程度深到他甚至想要从亚瑟王邪教中脱坑。

他决定,在脱坑之前,最后再来打一盘亚瑟王。既然是最后一战,就一定要打得漂

亮。众所周知,亚瑟王是一个看脸的游戏,技能的发动都是看概率的。作为一个非

洲人,同时作为一个前 OIer,小 K 自然是希望最大化造成伤害的期望值。但他已

经多年没写过代码,连 Spaly都敲不对了,因此,希望你能帮帮小 K,让他感受一

下当欧洲人是怎样的体验。 

本题中我们将考虑游戏的一个简化版模型。 

玩家有一套卡牌,共 n张。游戏时,玩家将 n 张卡牌排列成某种顺序,排列后

将卡牌按从前往后依次编号为 1 ~  n。本题中,顺序已经确定,即为输入的顺序。

每张卡牌都有一个技能。第 i 张卡牌的技能发动概率为 pi,如果成功发动,则会对

敌方造成di点伤害。也只有通过发动技能,卡牌才能对敌方造成伤害。基于现实因

素以及小K非洲血统的考虑,pi不会为 0,也不会为 1,即 0 < pi < 1。 

一局游戏一共有 r 轮。在每一轮中,系统将从第一张卡牌开始,按照顺序依次

考虑每张卡牌。在一轮中,对于依次考虑的每一张卡牌: 

1如果这张卡牌在这一局游戏中已经发动过技能,则 

1.1 如果这张卡牌不是最后一张,则跳过之(考虑下一张卡牌); 

否则(是最后一张),结束这一轮游戏。 

2否则(这张卡牌在这一局游戏中没有发动过技能),设这张卡牌为第 i 张 

2.1将其以 pi的概率发动技能。 

2.2如果技能发动,则对敌方造成 di点伤害,并结束这一轮。 

2.3如果这张卡牌已经是最后一张(即 i 等于n),则结束这一轮;否则,

考虑下一张卡牌。 

请帮助小 K 求出这一套卡牌在一局游戏中能造成的伤害的期望值。 

Input

输入文件的第一行包含一个整数 T,代表测试数据组数。 

接下来一共 T 组数据。 

每组数据的第一行包含两个用空格分开的整数 n和r,分别代表卡牌的张数和

游戏的轮数。 

接下来 n行,每行包含一个实数和一个整数,由空格隔开,描述一张卡牌。第

i 行的两个数为 pi和 di,分别代表第 i 张卡牌技能发动的概率(实数)和技能发动

造成的伤害(整数)。保证 pi最多包含 4位小数,且为一个合法的概率。 

Output

 对于每组数据,输出一行,包含一个实数,为这套卡牌在这一局游戏中造成的

伤害的期望值。对于每一行输出,只有当你的输出和标准答案的相对误差不超过

10^-8时——即|a-o|/a<=10-8时(其中a是标准答案,o是输出),你的输出才会被判为正确。

建议输出10 位小数。 

Sample Input

1

3 2

0.5000 2

0.3000 3

0.9000 1

Sample Output

3.2660250000

HINT

 一共有 13 种可能的情况: 

 

1.  第一轮中,第 1张卡牌发动技能;第二轮中,第 2张卡牌发动技能; 

 

概率为 0.15,伤害为5。 

 

2.  第一轮中,第 1张卡牌发动技能;第二轮中,第 3张卡牌发动技能; 

 

概率为 0.315,伤害为3。 

 

3.  第一轮中,第 1张卡牌发动技能;第二轮不发动技能; 

 

概率为 0.035,伤害为2。 

 

4.  第一轮中,第 2张卡牌发动技能;第二轮中,第 1张卡牌发动技能; 

 

概率为 0.075,伤害为5。 

 

5.  第一轮中,第 2张卡牌发动技能;第二轮中,第 3张卡牌发动技能; 

 

概率为 0.0675,伤害为4。 

 

6.  第一轮中,第 2张卡牌发动技能;第二轮不发动技能; 

 

概率为 0.0075,伤害为3。 

 

7.  第一轮中,第 3张卡牌发动技能;第二轮中,第 1张卡牌发动技能; 

 

概率为 0.1575,伤害为3。 

 

8.  第一轮中,第 3张卡牌发动技能;第二轮中,第 2张卡牌发动技能; 

 

概率为 0.04725,伤害为4。 

 

9.  第一轮中,第 3张卡牌发动技能;第二轮不发动技能; 

 

概率为 0.11025,伤害为1。 

 

10.  第一轮不发动技能;第二轮中,第 1张卡牌发动技能; 

 

概率为 0.0175,伤害为2。 

 

11.  第一轮不发动技能;第二轮中,第 2张卡牌发动技能; 

 

概率为 0.00525,伤害为3。 

 

12.  第一轮不发动技能;第二轮中,第 3张卡牌发动技能; 

 

概率为 0.011025,伤害为1。 

 

13.  第一轮不发动技能;第二轮亦不发动技能; 

 

概率为 0.001225,伤害为0。 

 

造成伤害的期望值为概率与对应伤害乘积之和,为3.266025。 

 

 

对于所有测试数据, 1 <= T <= 444, 1 <= n <= 220, 0<= r <= 132, 0< pi < 1, 0 <= di <= 1000。  

 

除非备注中有特殊说明,数据中 pi与di均为随机生成。 

 

请注意可能存在的实数精度问题,并采取适当措施。 

 

分析:

对于每一张牌,只有前面的牌会影响它的期望,后面的牌对它无影响

所以满足DP的性质

F[i][j]表示前i张牌,用剩j次机会的概率

F[i][j]=f[i-1][j]*(1-p[i])^j+f[i-1][j+1]*(1-(1-p[i])^(j+1))

前面一部分表示第i张牌没有用掉这次机会,后面表示这张牌用掉了这次机会的概率总和

 

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ll long long
#define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x)
#ifdef WIN32
#define LL "%I64d\n"
#else
#define LL "%lld\n"
#endif
using namespace std;
inline ll read()
{
	ll f=1,x=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
const int maxn=306;
double p[maxn],pw[maxn][maxn],f[maxn][maxn],ans=0.0;
int a[maxn],T,n,r;

int main()
{
	T=read();
	while(T--){
		n=read(),r=read();
		rep(i,1,n){
			cin>>p[i]>>a[i];
			p[i]=1-p[i];
		}
		rep(i,1,n){
			pw[i][0]=1.0;
			rep(j,1,r)pw[i][j]=pw[i][j-1]*p[i];
		}
		mem(f,0);
		f[0][r]=1.0;ans=0.0;
		rep(i,1,n){
			double s=0.0;
			dep(j,r,0){
			    f[i][j]=f[i-1][j]*pw[i][j]+f[i-1][j+1]*(1-pw[i][j+1]);
			    s+=f[i-1][j+1]*(1-pw[i][j+1]);
			}
			ans+=s*double(a[i]);
		}
		printf("%.10lf\n",ans);
	}
	return 0;
}



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