Noip2016天天爱跑步(洛谷1600)

Posted by yjjr's blog on February 6, 2018

标签:树上差分,LCA,树链剖分,LCT

【题目描述】
小c同学认为跑步非常有趣,于是决定制作一款叫做《天天爱跑步》的游戏。«天天爱跑步»是一个养成类游戏,需要玩家每天按时上线,完成打卡任务。
这个游戏的地图可以看作一一棵包含n个结点和n-1条边的树, 每条边连接两个结点,且任意两个结点存在一条路径互相可达。树上结点编号为从1到n的连续正整数。
现在有个玩家,第i个玩家的起点为Si,终点为Ti 。每天打卡任务开始时,所有玩家在第0秒同时从自己的起点出发, 以每秒跑一条边的速度, 不间断地沿着最短路径向着自己的终点跑去, 跑到终点后该玩家就算完成了打卡任务。 (由于地图是一棵树, 所以每个人的路径是唯一的)。
小C想知道游戏的活跃度, 所以在每个结点上都放置了一个观察员。在结点的观察员会选择在第Wj秒观察玩家, 一个玩家能被这个观察员观察到当且仅当该玩家在第Wj秒也理到达了结点j 。 小C想知道每个观察员会观察到多少人?
注意: 我们认为一个玩家到达自己的终点后该玩家就会结束游戏, 他不能等待一段时间后再被观察员观察到。 即对于把结点j作为终点的玩家: 若他在第Wj秒前到达终点,则在结点j的观察员不能观察到该玩家;若他正好在第Wj秒到达终点,则在结点j的观察员可以观察到这个玩家。
【样例输入】
6 3
2 3
1 2
1 4
4 5
4 6
0 2 5 1 2 3
1 5
1 3
2 6
【样例输出】
2 0 0 1 1 1

 

分析:

25分 暴力模拟,经过某点时判断当前时刻,是否和w相等,如果相等,ans++

45分 树链剖分+线段树模板题

60分 打标记做法,树上差分

     对于s->t的之间的点i,如果产生贡献,i-s=w[i],即s=i-w[i]

     设k[i]=i-w[i],所以题目转化为查询s到t之间k[i]=s的i的数量

     使用差分,对于s打上+1标记,t打上-1标记

     定义数组a[k]表示处理当前节点时,从k出发的路径条数,对于每个点i,查询下所对应的a[k[i]]即可,需要把以i为起点的路径加入数组a,再计算这个节点所产生的贡献,最后把以这个节点为终点的路径消除

 

100分

将s->t的路径拆分为s->lca(s,t)->t,这两条路径一条向上,一条向下,可以对应链的处理方式,先预处理每条路径的长度(通过LCA求)

因为只有s到lca路径之间的点会产生贡献,而这个点位于路径之间时,子树和会产生1的贡献,处于s的子树或者lca上方(父节点以上)的点都不会对答案产生影响

对于一个点i,如果deep[s]-deep[i]=w[i],当dfs查询到a[k[i]]的值即为贡献

对于lca(s,t)->t这条路径上的点也同样,但等式变为deep[t]-deep[i]=len-w[i],这样做很有可能会出现负数,那我们把统计数组num向右整体平移300000位就可以了

如果用倍增求lca的话,复杂度为O(n log n),tarjan离线求lca,O(n+m)

 

Node

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=300005,maxm=600010;
int n,m,ecnt,fir[maxn],next[maxm],to[maxm],f[maxn][20];
int deep[maxn],ans[maxn],val[maxn],tong[maxn],maxdeep,w[maxn],num[1000005];
vector<int>a[maxn],b[maxn],c[maxn];
struct node
{
	int s,t,lca,len;
}edge[maxn];
inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
inline void addedge(int x,int y)
{
	next[++ecnt]=fir[x];
	fir[x]=ecnt;
	to[ecnt]=y;
}
inline void init(int x,int fa)
{
    for(int i=fir[x];i;i=next[i])
    {
        int v=to[i];
        if(v==fa)continue;
        deep[v]=deep[x]+1;
        init(v,x);
        f[v][0]=x;
    }
}//遍历求深度deep 
inline int lca(int x,int y)
{
	if(deep[x]<deep[y])swap(x,y);
	int t=0;
	while((1<<t)<=deep[x])t++;
	t--;
	for(int i=t;i>=0;i--)
	    if(deep[x]-(1<<i)>=deep[y])x=f[x][i];
	if(x==y)return y;
	for(int i=t;i>=0;i--)
	    if(f[x][i]!=f[y][i])x=f[x][i],y=f[y][i];
	return f[x][0];
}//倍增求lca 
void dfs(int x,int fa)
{
	int now=w[x]+deep[x],cun;
	if(now<=maxdeep)cun=tong[now];
	for(int i=fir[x];i;i=next[i])
	{
		int v=to[i];
		if(v==fa)continue;
		dfs(v,x);
	}
	tong[deep[x]]+=val[x];
	if(now<=maxdeep)ans[x]=tong[now]-cun;
	for(int i=0,ss=a[x].size();i<ss;i++)tong[deep[a[x][i]]]--;
}
void DFS(int x,int fa)
{
	int now=deep[x]-w[x],cun;now+=300000;cun=num[now];
	for(int i=fir[x];i;i=next[i])
	{
		int v=to[i];
		if(v==fa)continue;
		DFS(v,x);
	}
	for(int i=0,ss=b[x].size();i<ss;i++)num[300000+b[x][i]]++;
	ans[x]+=num[now]-cun;
	for(int i=0,ss=c[x].size();i<ss;i++)num[300000+c[x][i]]--;
}//右路径向右平移300000 
int main()
{
	n=read(),m=read();
	int x,y;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		x=read(),y=read();
		addedge(x,y);
		addedge(y,x);//建边 
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)w[i]=read();
	deep[1]=1;
	init(1,0);//递归求深度 
	for(int i=1;i<=n;i++)maxdeep=max(maxdeep,deep[i]);//求最大深度 
	for(int i=1;i<=19;i++)
	    for(int j=1;j<=n;j++)
	        f[j][i]=f[f[j][i-1]][i-1];
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		edge[i].s=read(),edge[i].t=read(),val[edge[i].s]++;
		edge[i].lca=lca(edge[i].s,edge[i].t);
		edge[i].len=deep[edge[i].s]+deep[edge[i].t]-deep[edge[i].lca]*2;//求两点的路径长度 
		a[edge[i].lca].push_back(edge[i].s);
	}
	dfs(1,0);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		b[edge[i].t].push_back(deep[edge[i].t]-edge[i].len);
		c[edge[i].lca].push_back(deep[edge[i].t]-edge[i].len);
	}
	DFS(1,0);
	for(int i=1;i<=m;i++)if(deep[edge[i].s]-deep[edge[i].lca]==w[edge[i].lca])ans[edge[i].lca]--;
	for(int i=1;i<=n;i++)cout<<ans[i]<<" ";
    return 0;
}
 



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