标签：树上差分，LCA，树链剖分，LCT
【题目描述】
小c同学认为跑步非常有趣,于是决定制作一款叫做《天天爱跑步》的游戏。«天天爱跑步»是一个养成类游戏,需要玩家每天按时上线,完成打卡任务。
这个游戏的地图可以看作一一棵包含n个结点和n-1条边的树, 每条边连接两个结点,且任意两个结点存在一条路径互相可达。树上结点编号为从1到n的连续正整数。
现在有个玩家,第i个玩家的起点为Si,终点为Ti 。每天打卡任务开始时,所有玩家在第0秒同时从自己的起点出发, 以每秒跑一条边的速度, 不间断地沿着最短路径向着自己的终点跑去, 跑到终点后该玩家就算完成了打卡任务。 (由于地图是一棵树, 所以每个人的路径是唯一的)。
小C想知道游戏的活跃度, 所以在每个结点上都放置了一个观察员。在结点的观察员会选择在第Wj秒观察玩家, 一个玩家能被这个观察员观察到当且仅当该玩家在第Wj秒也理到达了结点j 。 小C想知道每个观察员会观察到多少人?
注意: 我们认为一个玩家到达自己的终点后该玩家就会结束游戏, 他不能等待一段时间后再被观察员观察到。 即对于把结点j作为终点的玩家: 若他在第Wj秒前到达终点,则在结点j的观察员不能观察到该玩家;若他正好在第Wj秒到达终点,则在结点j的观察员可以观察到这个玩家。
【样例输入】
6 3
2 3
1 2
1 4
4 5
4 6
0 2 5 1 2 3
1 5
1 3
2 6
【样例输出】
2 0 0 1 1 1
分析：
25分 暴力模拟，经过某点时判断当前时刻，是否和w相等，如果相等，ans++
45分 树链剖分+线段树模板题
60分 打标记做法，树上差分
对于s->t的之间的点i，如果产生贡献，i-s=w[i]，即s=i-w[i]
设k[i]=i-w[i]，所以题目转化为查询s到t之间k[i]=s的i的数量
使用差分，对于s打上+1标记，t打上-1标记
定义数组a[k]表示处理当前节点时，从k出发的路径条数，对于每个点i，查询下所对应的a[k[i]]即可，需要把以i为起点的路径加入数组a,再计算这个节点所产生的贡献，最后把以这个节点为终点的路径消除
100分
将s->t的路径拆分为s->lca(s,t)->t，这两条路径一条向上，一条向下，可以对应链的处理方式，先预处理每条路径的长度（通过LCA求）
因为只有s到lca路径之间的点会产生贡献，而这个点位于路径之间时，子树和会产生1的贡献，处于s的子树或者lca上方（父节点以上）的点都不会对答案产生影响
对于一个点i，如果deep[s]-deep[i]=w[i]，当dfs查询到a[k[i]]的值即为贡献
对于lca(s,t)->t这条路径上的点也同样，但等式变为deep[t]-deep[i]=len-w[i]，这样做很有可能会出现负数，那我们把统计数组num向右整体平移300000位就可以了
如果用倍增求lca的话，复杂度为O（n log n），tarjan离线求lca，O（n+m）
Node
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=300005,maxm=600010;
int n,m,ecnt,fir[maxn],next[maxm],to[maxm],f[maxn][20];
int deep[maxn],ans[maxn],val[maxn],tong[maxn],maxdeep,w[maxn],num[1000005];
vector<int>a[maxn],b[maxn],c[maxn];
struct node
{
int s,t,lca,len;
}edge[maxn];
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
inline void addedge(int x,int y)
{
next[++ecnt]=fir[x];
fir[x]=ecnt;
to[ecnt]=y;
}
inline void init(int x,int fa)
{
for(int i=fir[x];i;i=next[i])
{
int v=to[i];
if(v==fa)continue;
deep[v]=deep[x]+1;
init(v,x);
f[v][0]=x;
}
}//遍历求深度deep
inline int lca(int x,int y)
{
if(deep[x]<deep[y])swap(x,y);
int t=0;
while((1<<t)<=deep[x])t++;
t--;
for(int i=t;i>=0;i--)
if(deep[x]-(1<<i)>=deep[y])x=f[x][i];
if(x==y)return y;
for(int i=t;i>=0;i--)
if(f[x][i]!=f[y][i])x=f[x][i],y=f[y][i];
return f[x][0];
}//倍增求lca
void dfs(int x,int fa)
{
int now=w[x]+deep[x],cun;
if(now<=maxdeep)cun=tong[now];
for(int i=fir[x];i;i=next[i])
{
int v=to[i];
if(v==fa)continue;
dfs(v,x);
}
tong[deep[x]]+=val[x];
if(now<=maxdeep)ans[x]=tong[now]-cun;
for(int i=0,ss=a[x].size();i<ss;i++)tong[deep[a[x][i]]]--;
}
void DFS(int x,int fa)
{
int now=deep[x]-w[x],cun;now+=300000;cun=num[now];
for(int i=fir[x];i;i=next[i])
{
int v=to[i];
if(v==fa)continue;
DFS(v,x);
}
for(int i=0,ss=b[x].size();i<ss;i++)num[300000+b[x][i]]++;
ans[x]+=num[now]-cun;
for(int i=0,ss=c[x].size();i<ss;i++)num[300000+c[x][i]]--;
}//右路径向右平移300000
int main()
{
n=read(),m=read();
int x,y;
for(int i=1;i<n;i++)
{
x=read(),y=read();
addedge(x,y);
addedge(y,x);//建边
}
for(int i=1;i<=n;i++)w[i]=read();
deep[1]=1;
init(1,0);//递归求深度
for(int i=1;i<=n;i++)maxdeep=max(maxdeep,deep[i]);//求最大深度
for(int i=1;i<=19;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
f[j][i]=f[f[j][i-1]][i-1];
for(int i=1;i<=m;i++)
{
edge[i].s=read(),edge[i].t=read(),val[edge[i].s]++;
edge[i].lca=lca(edge[i].s,edge[i].t);
edge[i].len=deep[edge[i].s]+deep[edge[i].t]-deep[edge[i].lca]*2;//求两点的路径长度
a[edge[i].lca].push_back(edge[i].s);
}
dfs(1,0);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
b[edge[i].t].push_back(deep[edge[i].t]-edge[i].len);
c[edge[i].lca].push_back(deep[edge[i].t]-edge[i].len);
}
DFS(1,0);
for(int i=1;i<=m;i++)if(deep[edge[i].s]-deep[edge[i].lca]==w[edge[i].lca])ans[edge[i].lca]--;
for(int i=1;i<=n;i++)cout<<ans[i]<<" ";
return 0;
}
