Bzoj1038 [zjoi2008]瞭望塔

论分段函数的极值点

Posted by yjjr's blog on February 10, 2018

标签:计算几何-半平面交

题目

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Description

  致力于建设全国示范和谐小村庄的H村村长dadzhi,决定在村中建立一个瞭望塔,以此加强村中的治安。我们 将H村抽象为一维的轮廓。如下图所示 我们可以用一条山的上方轮廓折线(x1, y1), (x2, y2), …. (xn, yn)来描 述H村的形状,这里x1 < x2 < …< xn。瞭望塔可以建造在[x1, xn]间的任意位置, 但必须满足从瞭望塔的顶端可 以看到H村的任意位置。可见在不同的位置建造瞭望塔,所需要建造的高度是不同的。为了节省开支,dadzhi村长 希望建造的塔高度尽可能小。请你写一个程序,帮助dadzhi村长计算塔的最小高度。 Input

  第一行包含一个整数n,表示轮廓折线的节点数目。接下来第一行n个整数, 为x1 ~ xn. 第三行n个整数,为y1 ~ yn。 Output

  仅包含一个实数,为塔的最小高度,精确到小数点后三位。 Sample Input 【输入样例一】

6

1 2 4 5 6 7

1 2 2 4 2 1

【输入样例二】

4

10 20 49 59

0 10 10 0 Sample Output 【输出样例一】

1.000

【输出样例二】

14.500 HINT

N ≤ 300,输入坐标绝对值不超过106,注意考虑实数误差带来的问题。

分析

将相邻的两点之间建边连线,然后去重

答案一定出现在半平面交的集合中

发现轮廓到凸壳的距离实际上是由很多直线组成的分段函数

轮廓和凸壳上的折点就是分段函数的端点

分段函数的最优值一定在端点上取到

code

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ll long long
#define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x)
#define reg(x) for(int i=last[x];i;i=e[i].next)
using namespace std;
inline ll read()
{
	ll f=1,x=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
const int maxn=1e3+6;
double ans=1e60;
int n,cnt,top,tot;
struct P{double x,y;}p[maxn],a[maxn];
struct L{P a,b;double slop;}l[maxn],q[maxn];
inline P operator - (P a,P b){P t;t.x=a.x-b.x;t.y=a.y-b.y;return t;}
inline double operator * (P a,P b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}
inline bool operator<(L a,L b){return a.slop!=b.slop?a.slop<b.slop:(a.b-a.a)*(b.b-a.a)>0;}
inline P inter(L a,L b){
	double k1=(b.b-a.a)*(a.b-a.a);
	double k2=(a.b-a.a)*(b.a-a.a);
	double t=k1/(k1+k2);
	P ans={b.b.x+(b.a.x-b.b.x)*t,b.b.y+(b.a.y-b.b.y)*t};
	return ans;
}
inline bool jud(L a,L b,L t){
	P p=inter(a,b);
	return (t.b-t.a)*(p-t.a)<0;
}
void pre(){
	p[0].x=p[1].x;p[0].y=1e5+6;
	p[n+1].x=p[n].x;p[n+1].y=1e5+6;
	rep(i,1,n){
		l[++cnt].a=p[i-1],l[cnt].b=p[i];
		l[++cnt].a=p[i],l[cnt].b=p[i+1];
	}
	rep(i,1,cnt)l[i].slop=atan2(l[i].b.y-l[i].a.y,l[i].b.x-l[i].a.x);
	sort(l+1,l+1+cnt);//建边连线 
}
void hpi(){
	int L=1,R=0;tot=0;
	rep(i,1,cnt){
		if(l[i].slop!=l[i-1].slop)tot++;
		l[tot]=l[i];
	}//去重 
	cnt=tot;
	q[++R]=l[1],q[++R]=l[2];
	rep(i,3,cnt){
		while(L<R&&jud(q[R-1],q[R],l[i]))R--;
		while(L<R&&jud(q[L+1],q[L],l[i]))L++;
		q[++R]=l[i];
	}
	while(L<R&&jud(q[R-1],q[R],q[L]))R--;
	while(L<R&&jud(q[L+1],q[L],q[R]))L++;
	tot=0;
	rep(i,L,R-1)a[++tot]=inter(q[i],q[i+1]);//半平面交 
}
void getans(){
	rep(k,1,tot)
		rep(i,1,n-1){
			P t={a[k].x,-1};
			if(a[k].x>=p[i].x&&a[k].x<=p[i+1].x)ans=min(ans,a[k].y-inter((L){p[i],p[i+1]},(L){t,a[k]}).y);
		}
	rep(k,1,n)
		rep(i,1,tot-1){
			P t={p[k].x,-1};
			if(p[k].x>=a[i].x&&p[k].x<=a[i+1].x)ans=min(ans,inter((L){a[i],a[i+1]},(L){t,p[k]}).y-p[k].y);
		}
}
int main()
{
	n=read();
	rep(i,1,n)p[i].x=read();
	rep(i,1,n)p[i].y=read();
	pre();hpi();getans();
	printf("%.3lf\n",ans);
	return 0;
}
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