Bzoj4785 [zjoi2017]树状数组

ZJOI毒瘤T2

Posted by yjjr's blog on February 14, 2018

标签:树套树

题目

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Description

漆黑的晚上,九条可怜躺在床上辗转反侧。难以入眠的她想起了若干年前她的一次悲惨的OI 比赛经历。那是一道 基础的树状数组题。给出一个长度为 n 的数组 A,初始值都为 0,接下来进行 m 次操作,操作有两种: 1 x,表示将 Ax 变成 (Ax + 1) mod 2。 2 l r,表示询问 sigma(Ai) mod 2,L<=i<=r 尽管那个时候的可怜非常的 simple,但是她还是发现这题可以用树状数组做。当时非常young 的她写了如下的算 法: 1: function Add(x) 2: while x > 0 do 3: A x ← (Ax + 1) mod 2 4: x ← x ? lowbit(x) 5: end while 6: end function 7: 8: function Find(x) 9: if x == 0 then 10: return 0 11: end if 12: ans ← 0 13: while x ≤ n do 14: ans ← (ans + Ax) mod 2 15: x ← x + lowbit(x) 16: end while 17: return ans 18: end function 19: 20: function Query(l, r) 21: ansl ← Find(l ? 1) 22: ansr ← Find(r) 23: return (ansr ? ansl + 2) mod 2 24: end function 其中 lowbit(x) 表示数字 x 最?的非 0 二进制位,例如 lowbit(5) = 1, lowbit(12) = 4。进行第一类操作的时 候就调用 Add(x),第二类操作的时候答案就是 Query(l, r)。如果你对树状数组比较熟悉,不难发现可怜把树状 数组写错了: Add和Find 中 x 变化的方向反了。因此这个程序在最终测试时华丽的爆 0 了。然而奇怪的是,在 当时,这个程序通过了出题人给出的大样例——这也是可怜没有进行对拍的原因。现在,可怜想要算一下,这个程 序回答对每一个询问的概率是多少,这样她就可以再次的感受到自己是一个多么非的人了。然而时间已经过去了很 多年,即使是可怜也没有办法完全回忆起当时的大样例。幸运的是,她回忆起了大部分内容,唯一遗忘的是每一次 第一类操作的 x的值,因此她假定这次操作的 x 是在 [li, ri] 范围内 等概率随机 的。具体来说,可怜给出了 一个长度为 n 的数组 A,初始为 0,接下来进行了 m 次操作: 1 l r,表示在区间 [l, r] 中等概率选取一个 x 并执行 Add(x)。 2 l r,表示询问执行 Query(l, r) 得到的结果是正确的概率是多少。 Input 第一行输入两个整数 n, m。 接下来 m 行每行描述一个操作,格式如题目中所示。 N<=10^5,m<=10^5,1<=L<=R<=N Output 对于每组询问,输出一个整数表示答案。如果答案化为最简分数后形如 x/y ,那么你只需要输出 x*y^?1 mod 998244353 后的值。(即输出答案模 998244353)。 Sample Input 5 5

1 3 3

2 3 5

2 4 5

1 1 3

2 2 5 Sample Output 1

0

665496236

//在进行完 Add(3) 之后, A 数组变成了 [0, 1, 1, 0, 0]。所以前两次询问可怜的程序答案都是

1,因此第一次询问可怜一定正确,第二次询问可怜一定错误。

分析

实际上是维护后缀和

把查询(x,y)看成一个二维数点,表示x与y修改次数相同的概率,那么我们只需要记录x<y的情况

对于修改操作,[1,l-1]和[l+1,r]这两个区间都会对[l,r]中的数有1-p的概率不改变相同性,p=1/区间长度;区间内部的情况是1−p∗2

合并两个标记merge(p1,p2)=p1*p2+(1-p1) * (1-p2)

直接在二维线段树上维护即可,第一次写二维线段树orz

要特判l=1的情况

code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ll long long
#define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x)
#define reg(x) for(int i=last[x];i;i=e[i].next)
using namespace std;
inline ll read()
{
    ll f=1,x=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
const int maxn=2e5+6,mod=998244353;
int n,m,cnt,rt[maxn*3],P[maxn*180],ans;
struct node{int ls,rs;}a[maxn*180];
inline int qpow(int x,int y){
    int re=1;
    while(y){
        if(y&1)re=1ll*re*x%mod;
        x=1ll*x*x%mod;y>>=1;
    }
    return re;
}
inline int merge(int x,int y){return (1ll*x*y%mod+1ll*(1-x+mod)*(1-y+mod)%mod)%mod;}
void build(int root,int l,int r){
    cnt=max(cnt,root);if(l==r)return;
    int mid=(l+r)>>1;build(root<<1,l,mid);build(root<<1|1,mid+1,r);
}
void modify(int &root,int l,int r,int ql,int qr,int t){
    if(!root)root=++cnt,P[root]=1;
    if(ql<=l&&r<=qr){P[root]=merge(P[root],t);return ;}
    int mid=(l+r)>>1;
    if(ql<=mid)modify(a[root].ls,l,mid,ql,qr,t);
    if(qr>mid)modify(a[root].rs,mid+1,r,ql,qr,t);
}
void Modify(int root,int l,int r,int ql,int qr,int down,int up,int t){
    if(ql<=l&&r<=qr){modify(rt[root],0,n+1,down,up,t);return;}
    int mid=(l+r)>>1;
    if(ql<=mid)Modify(root<<1,l,mid,ql,qr,down,up,t);
    if(qr>mid)Modify(root<<1|1,mid+1,r,ql,qr,down,up,t);
}
void query(int &root,int l,int r,int pos){
    if(!root)return;ans=merge(ans,P[root]);
    if(l==r)return;int mid=(l+r)>>1;
    if(pos<=mid)query(a[root].ls,l,mid,pos);else query(a[root].rs,mid+1,r,pos);
}
void Query(int root,int l,int r,int posx,int posy){
    if(rt[root])query(rt[root],0,n+1,posy);
    if(l==r)return;int mid=(l+r)>>1;
    if(posx<=mid)Query(root<<1,l,mid,posx,posy);else Query(root<<1|1,mid+1,r,posx,posy);
}
int main()
{
    n=read(),m=read();
    build(1,0,n);
    rep(i,1,m){
        int opt=read(),l=read(),r=read(),p;
        if(opt==1){
            p=qpow(r-l+1,mod-2);
            if(l>1){
                Modify(1,1,n,1,l-1,l,r,(1-p+mod)%mod);
                modify(rt[0],1,n,1,l-1,0);
            }
            if(r<n){
                Modify(1,1,n,l,r,r+1,n,(1-p+mod)%mod);
                modify(rt[0],1,n,r+1,n,0);
            }
            if(l!=r)Modify(1,1,n,l,r,l,r,(1-p*2+mod*2)%mod);
            modify(rt[0],1,n,l,r,p);
        }else{
            ans=1;
            if(l==1)query(rt[0],1,n,r);else Query(1,1,n,l-1,r);
            printf("%d\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}
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