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单调队列维护半平面交

Posted by yjjr's blog on March 17, 2018

标签:半平面交

题目

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Description

小C有一个N行M列矩阵A。 小P挑衅小C:就你这智商,能告诉我每一行的最小值是什么吗? 小C不服:垃圾 可是小C真不会,于是他找到了你 由于A可能很大,这个矩阵用一个特殊的方式加密了

Input

第一行两个整数N,M。 接下来一行N个数,第i个数表示Ai,1 接下来M-1行,每行两个整数,第i行表示ki,bi

Output

输出N行,每行一个整数。第i行的整数表示第i行的最小值。

Sample Input

2 3
1 2
-1 1
-2 1

Sample Output

0
-2

HINT

分析

感觉这是这套模拟赛中最可做的一套题

然后果断码了30pts暴力O(n^2)

然后冷静分析,发现答案具有一定的单调性

可以把k,b分别做次前缀和,然后以k为第一关键字,b为第二关键字从小到大排序

然后发现选择的答案一定是从最后往前扫一遍的,即下一次决策不会比这次决策靠后

所以就每次从后往前扫一遍,期望O(n),然而gg

我还很天真的和暴力对拍了1h,感觉妹滋滋

最后zhouyuheng提醒才发现要用单调队列维护一个凸包

大概就是维护一个半平面交

注意要开long long

code

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(register int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(register int i=a;i>=b;i--)
#define ll long long
#define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x)
#define reg(x) for(int i=last[x];i;i=e[i].next)
using namespace std;
inline ll read(){
	ll f=1,x=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
//**********head by yjjr**********
#define mid ((l+r)>>1)
const int maxn=2e5+6;  
const double eps=1e-10,inf=1e18;  
int n,m,que[maxn];ll c[maxn],top,ans; 
struct node{ll k,b;}y[maxn];  
inline bool cmpy(node x,node y){return x.k==y.k?x.b<y.b:x.k<y.k;}
inline double slope(int a,int b){  
    if(y[b].k-y[a].k<eps)return inf*(y[b].b-y[a].b);
	return 1.0*(y[b].b-y[a].b)/(y[b].k-y[a].k);  
}  
inline ll query(double k,int i){  
    int l=1,r=top;  
    if(!top)return(ll)maxn;  
    while(1){  
        double lk=slope(que[mid-1],que[mid]),rk=slope(que[mid],que[mid+1]);  
        if(lk<=eps+k&&rk+eps>=k)return y[que[mid]].b+1ll*i*y[que[mid]].k+c[i];  
        if(k>rk)l=mid+1;else r=mid-1;  
    }  
}  
int main()
{
	n=read(),m=read()-1;
	rep(i,1,n)c[i]=read();
	rep(i,1,m)y[i].k=y[i-1].k+read(),y[i].b=y[i-1].b+read();
	sort(y+1,y+1+m,cmpy);
	rep(i,1,m){
		while(top>1&&slope(que[top-1],que[top])>slope(que[top],i))top--;
		que[++top]=i;
	}        
	que[0]=0,que[top+1]=maxn-1,y[0]=(node){y[1].k-1,(ll)inf},y[maxn-1]=(node){y[que[top]].k+1,(ll)inf};  
    rep(i,1,n)printf("%lld\n",min(c[i],query(-1.0*i,i)));  
	return 0;
}
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