洛谷3746 [六省联考2017]组合数问题

矩阵快速幂优化求组合数

Posted by yjjr's blog on March 19, 2018

标签:组合数,矩阵快速幂,倍增

题目

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题目描述

组合数 C(n,m) 表示的是从 n 个互不相同的物品中选出 m 个物品的方案数。举个例子,从 (1;2;3) 三个物品中选择两个物品可以有 (1;2);(1;3);(2;3) 这三种选择方法。根据组合数的定义,我们可以给出计算组合数 C(n,m) 的一般公式:

其中 。(特别的,当 时, ,当 时,

小葱在 NOIP 的时候学习了 C(i,j) 和 k 的倍数关系,现在他想更进一步,研究更多关于组合数的性质。小葱发现, C(i,j) 是否是 k 的倍数,取决于 是否等于 0,这个神奇的性质引发了小葱对 mod 运算(取余数)的兴趣。现在小葱选择了是四个整数n; p; k; r,小葱现在希望知道的值。

输入输出格式

输入格式

第一行有四个整数 n; p; k;r,所有整数含义见问题描述。

输出格式

一行一个整数代表答案。

输入输出样例

输入样例#1

2 10007 2 0

输出样例#1

8

输入样例#2

20 10007 20 0

输出样例#2

176

说明

• 对于 30% 的测试点, 1 ≤ n; k ≤ 30, p 是质数;

• 对于另外 5% 的测试点, p = 2;

• 对于另外 5% 的测试点, k = 1;

• 对于另外 10% 的测试点, k = 2;

• 对于另外 15% 的测试点, 1 ≤ n ≤ 10^3; 1 ≤ k ≤ 50, p 是质数;

• 对于另外 15% 的测试点, 1 ≤ n × k ≤ 10^6, p 是质数;

• 对于另外 10% 的测试点, 1 ≤ n ≤ 10^9; 1 ≤ k ≤ 50, p 是质数;

• 对于 100% 的测试点, 1 ≤ n ≤ 10^9; 0 ≤ r < k ≤ 50; 2 ≤ p ≤ 2^30 − 1。

分析

组合数只和上一行的状态有关

发现i是轮换的,复制矩阵到一个新矩阵,然后矩阵右移一格,加到新矩阵中。

所以可以矩阵快速幂解决

我是参见这位dalao的倍增写法

倍增写起来很容易

code

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ll long long
#define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x)
#define reg(x) for(int i=last[x];i;i=e[i].next)
using namespace std;
inline ll read(){
	ll f=1,x=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
//**********head by yjjr**********
const int maxn=2e3+6;
struct arr{int s[maxn];}a,res;
ll n;int p,k,r;
inline arr operator * (arr u,arr b){
	arr a=u;mem(u.s,0);
	rep(i,0,k-1)
		rep(j,0,k-1)
			u.s[(i+j)%k]=(u.s[(i+j)%k]+1ll*a.s[i]*b.s[j])%p;
	return u;
}
int main()
{
	n=read(),p=read(),k=read(),r=read();
	n=(ll)n*k;
	a.s[0]=1;a.s[1%k]+=1;res.s[0]=1;
	while(n){
		if(n&1)res=res*a;
		n>>=1,a=a*a;
	}
	cout<<res.s[r]<<endl;
	return 0;
}
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