洛谷3750 [六省联考2017]分手是祝愿

递推+逆元求期望

Posted by yjjr's blog on March 21, 2018

标签:DP,逆元

题目

题目传送门

题目描述

Zeit und Raum trennen dich und mich.

时空将你我分开。

B 君在玩一个游戏,这个游戏由 n 个灯和 n 个开关组成,给定这 n 个灯的初始状态,下标为从 1 到 n 的正整数。

每个灯有两个状态亮和灭,我们用 1 来表示这个灯是亮的,用 0 表示这个灯是灭的,游戏的目标是使所有灯都灭掉。

但是当操作第 i 个开关时,所有编号为 i 的约数(包括 1 和 i)的灯的状态都会被改变,即从亮变成灭,或者是从灭变成亮。

B 君发现这个游戏很难,于是想到了这样的一个策略,每次等概率随机操作一个开关,直到所有灯都灭掉。

这个策略需要的操作次数很多, B 君想到这样的一个优化。如果当前局面,可以通过操作小于等于 k 个开关使所有灯都灭掉,那么他将不再随机,直接选择操作次数最小的操作方法(这个策略显然小于等于 k 步)操作这些开关。

B 君想知道按照这个策略(也就是先随机操作,最后小于等于 k 步,使用操作次数最小的操作方法)的操作次数的期望。

这个期望可能很大,但是 B 君发现这个期望乘以 n 的阶乘一定是整数,所以他只需要知道这个整数对 100003 取模之后的结果。

输入输出格式

输入格式

第一行两个整数 n, k。

接下来一行 n 个整数,每个整数是 0 或者 1,其中第 i 个整数表示第 i 个灯的初始情况。

输出格式

输出一行,为操作次数的期望乘以 n 的阶乘对 100003 取模之后的结果。

输入输出样例

输入样例#1

4 0
0 0 1 1

输出样例#1

512

输入样例#2

5 0
1 0 1 1 1

输出样例#2

5120

说明

• 对于 0% 的测试点,和样例一模一样;

• 对于另外 30% 的测试点, n ≤ 10;

• 对于另外 20% 的测试点, n ≤ 100;

• 对于另外 30% 的测试点, n ≤ 1000;

• 对于 100% 的测试点, 1 ≤ n ≤ 100000; 0 ≤ k ≤ n;

• 对于以上每部分测试点,均有一半的数据满足 k = n。

分析

显然,当k=n的情况,我们可以贪心从大到小扫一遍,遇到一个开着的灯就将其关闭,这也是唯一策略

考虑k < n的情况,初始总共有num盏灯处于点亮状态,需要将其关闭

f[i]表示由剩余i个灯关到i-1个灯的期望步数

其中有i/n盏灯为点亮状态,(n-i)/n为熄灭状态

可以得到转移

移向得到

这可以在O(n)的时间内处理出来

那么

注意阶乘和取模操作的时候可能会爆int

code

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ll long long
#define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x)
#define reg(x) for(int i=last[x];i;i=e[i].next)
using namespace std;
inline ll read(){
	ll f=1,x=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
//**********head by yjjr**********
const int maxn=2e5+6,mod=1e5+3;
int a[maxn],inv[maxn],f[maxn],ans,n,k;
int check(){
	int re=0;
	dep(i,n,1)
		if(a[i]){
			int blo=sqrt(i);re++;
			rep(j,1,blo)
				if(i%j==0){
					a[j]^=1;
					if(j*j!=i)a[i/j]^=1;
				}
		}
	return re;
}
void getinv(){
	inv[0]=inv[1]=1;
	rep(i,2,n)inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
}
inline int jc(int x){int re=x;rep(i,1,n)re=1ll*re*i%mod;return re;}
int main()
{
	n=read(),k=read();
	rep(i,1,n)a[i]=read();
	int num=check();
	if(num<=k){printf("%d\n",jc(num));return 0;}
	getinv();
	f[n]=1;
	dep(i,n-1,k)f[i]=1ll*(n+1ll*(n-i)*f[i+1]%mod)*inv[i]%mod;
	dep(i,num,k+1)ans=(ans+f[i])%mod;
	ans+=k;
	printf("%d\n",jc(ans));
	return 0;
}
本文可以转载,但必须附上原文链接,否则你会终生找不到妹子!!!欢迎关注我的CSDN: ahyjjr