洛谷4438 [hnoi_ahoi2018]道路

巧妙的树形DP

Posted by yjjr's blog on October 13, 2018

标签:树形DP

题目

题目传送门

题目描述

W 国的交通呈一棵树的形状。W 国一共有个城市和个乡村,其中城市从 编号,乡村从编号,且号城市是首都。道路都是单向的,本题中我们只考虑从乡村通往首都的道路网络。对于每一个城市,恰有一条公路和一条铁路通向这座城市。对于城市i, 通向该城市的道路(公路或铁路)的起点,要么是一个乡村,要么是一个编号比大的城市。 没有道路通向任何乡村。除了首都以外,从任何城市或乡村出发只有一条道路;首都没有往 外的道路。从任何乡村出发,沿着唯一往外的道路走,总可以到达首都。

W 国的国王小 W 获得了一笔资金,他决定用这笔资金来改善交通。由于资金有限,小 W 只能翻修条道路。小 W 决定对每个城市翻修恰好一条通向它的道路,即从公路和铁 路中选择一条并进行翻修。小 W 希望从乡村通向城市可以尽可能地便利,于是根据人口调 查的数据,小 W 对每个乡村制定了三个参数,编号为的乡村的三个参数是。假设 从编号为的乡村走到首都一共需要经过条未翻修的公路与条未翻修的铁路,那么该乡村 的不便利值为

在给定的翻修方案下,每个乡村的不便利值相加的和为该翻修方案的不便利值。 翻修条道路有很多方案,其中不便利值最小的方案称为最优翻修方案,小 W 自然 希望找到最优翻修方案,请你帮助他求出这个最优翻修方案的不便利值。

输入输出格式

输入格式

第一行为正整数

接下来行,每行描述一个城市。其中第行包含两个数表示通向第座城市 的公路的起点,表示通向第i座城市的铁路的起点。如果,那么存在一条从第座城 市通往第座城市的公路,否则存在一条从第个乡村通往第i座城市的公路;类似地,如 果,那么存在一条从第座城市通往第i座城市的铁路,否则存在一条从第个乡村通 往第座城市的铁路。

接下来行,每行描述一个乡村。其中第i行包含三个数,其意义如题面所示。

输出格式

输出一行一个整数,表示最优翻修方案的不便利值。

输入输出样例

输入样例#1

6 
2 3 
4 5 
-1 -2 
-3 -4 
-5 -6 
1 2 3 
1 3 2 
2 1 3 
2 3 1 
3 1 2 
3 2 1

输出样例#1

54

输入样例#2

9 
2 -2 
3 -3 
4 -4 
5 -5 
6 -6 
7 -7 
8 -8 
-1 -9 
1 60 1 
1 60 1 
1 60 1 
1 60 1 
1 60 1 
1 60 1 
1 60 1 
1 60 1 
1 60 1

输出样例#2

548

输入样例#3

12 
2 4 
5 3 
-7 10 
11 9 
-1 6 
8 7 
-6 -10 
-9 -4
-12 -5 
-2 -3 
-8 -11 
53 26 491 
24 58 190 
17 37 356 
15 51 997 
30 19 398 
3 45 27 
52 55 838 
16 18 931 
58 24 212 
43 25 198 
54 15 172 
34 5 524

输出样例#3

5744902

说明

【样例解释 1】

如图所示,我们分别用蓝色、黄色节点表示城市、乡村;用绿色、红色箭头分别表示 公路、铁路;用加粗箭头表示翻修的道路。

一种不便利值等于54的方法是:翻修通往城市2和城市5的铁路,以及通往其他城市的 公路。用→和⇒表示公路和铁路,用∗→和∗⇒表示翻修的公路和铁路,那么:

编号为1的乡村到达首都的路线为:-1 ∗→ 3 ⇒ 1,经过0条未翻修公路和1条未翻修铁 路,代价为3 × (1 + 0) × (2 + 1) = 9;
编号为2的乡村到达首都的路线为:-2 ⇒ 3 ⇒ 1,经过0条未翻修公路和2条未翻修铁 路,代价为2 × (1 + 0) × (3 + 2) = 10;
编号为3的乡村到达首都的路线为:-3 ∗→ 4 → 2 ∗→ 1,经过1条未翻修公路和0条未 翻修铁路,代价为3 × (2 + 1) × (1 + 0) = 9;
编号为4的乡村到达首都的路线为:-4 ⇒ 4 → 2 ∗→ 1,经过1条未翻修公路和1条未翻 修铁路,代价为1 × (2 + 1) × (3 + 1) = 12;
编号为5的乡村到达首都的路线为:-5 → 5 ∗⇒ 2 ∗→ 1,经过1条未翻修公路和0条未 翻修铁路,代价为2 × (3 + 1) × (1 + 0) = 8;
编号为6的乡村到达首都的路线为:-6 ∗⇒ 5 ∗⇒ 2 ∗→ 1,经过0条未翻修公路和0条未翻修铁路,代价为1 × (3 + 0) × (2 + 0) = 6;

总的不便利值为9 + 10 + 9 + 12 + 8 + 6 = 54。可以证明这是本数据的最优解。

【样例解释 2】

在这个样例中,显然应该翻修所有公路。

【数据范围】 一共20组数据,编号为1 ∼ 20。 对于编号的数据,
对于编号为5 ∼ 8的数据,
对于编号为9 ∼ 12的数据,
对于所有的数据,内的整数,任意乡村可以通过不超过40条道路到达首都。

题解

在考场上只会20分暴力,自闭了qwq

直接考虑树形DP

为从根节点到u节点经过了i条没经过标记的L边和j条没经过标记的R边

  • 对于每个叶子节点直接枚举最佳答案
  • 对于每个非叶子节点枚举左右删去哪条边

code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ll long long
#define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x)
#define reg(x) for(int i=last[x];i;i=e[i].next)
using namespace std;
inline ll read(){
	ll f=1,x=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
//******head by yjjr******
#define lson Num[s[u]]
#define rson Num[t[u]]
const int maxn=5e4+6;
int n,m,Top,Tot,a[maxn],b[maxn],c[maxn],s[maxn],t[maxn],Num[maxn],Sta[maxn];
ll f[106][106][106];
void dfs(int u,int x,int y){
	int now=Num[u]=Top?Sta[Top--]:++Tot;
	if(!s[u]){
		rep(i,0,x)rep(j,0,y)f[now][i][j]=(ll)c[u]*(a[u]+i)*(b[u]+j);
		return;
	}
	dfs(s[u],x+1,y);dfs(t[u],x,y+1);
	rep(i,0,x)rep(j,0,y)f[now][i][j]=min(f[lson][i+1][j]+f[rson][i][j],f[lson][i][j]+f[rson][i][j+1]);
	Sta[++Top]=lson,Sta[++Top]=rson;
}
int main(){
	n=read();m=2*n-1;
	rep(i,1,n-1){
		int u=read(),v=read();
		if(u<0)s[i]=n-u-1;else s[i]=u;
		if(v<0)t[i]=n-v-1;else t[i]=v;
	}
	rep(i,n,m)a[i]=read(),b[i]=read(),c[i]=read();
	dfs(1,0,0);
	cout<<f[Num[1]][0][0]<<endl;
	return 0;
}
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