洛谷3199 [hnoi2009]最小圈

分数规划+SPFA判负环

Posted by yjjr's blog on October 30, 2018

标签:分数规划,二分,SPFA

题目

题目传送门

题目描述

考虑带权的有向图以及,每条边的权值定义为,令中的一个圈当且仅当都在中,这时称为圈的长度同时令,并定义圈的平均值为,即上所有边的权值的平均值。令中所有圈的平均值的最小值。现在的目标是:在给定了一个图以及之后,请求出中所有圈的平均值的最小值

输入输出格式

输入格式

第一行2个正整数,分别为,并用一个空格隔开,只用分别表示图中有个点条边。 接下来m行,每行3个数,表示有一条边且该边的权值为。输入数据保证图连通,存在圈且有一个点能到达其他所有点。

输出格式

请输出一个实数,要求输出到小数点后8位。

输入输出样例

输入样例#1

4 5
1 2 5
2 3 5
3 1 5
2 4 3
4 1 3

输出样例#1

3.66666667

输入样例#2

2 2
1 2 -2.9
2 1 -3.1

输出样例#2

-3.00000000

说明

对于100%的数据,

分析

分数规划典型题了

我们令环为,v[i]为环上节点的集合,e[i]为环上边的集合,记每条边的边权为,每个点的点权为,所有点权都为1

那么先二分答案,然后寻找是否存在一个环,满足下列式子

式子化简后

那么问题就转化为了判断图中是否存在负环

我们可以把每条边的边权看成,之后用SPFA判负环

code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ll long long
#define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x)
#define reg(x) for(int i=last[x];i;i=e[i].next)
using namespace std;
inline ll read(){
	ll f=1,x=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
//******head by yjjr******
#define inf 1e6
const int maxn=1e4+6;
int n,m,cnt=0,last[maxn],u[maxn],v[maxn],judge;
double w,dis[maxn];bool vis[maxn];
struct edge{int to,next;double v;}e[maxn];
void insert(int u,int v,double w){
	e[++cnt]=(edge){v,last[u],w};last[u]=cnt;
}
void spfa(int x,double w){
	vis[x]=1;
	reg(x)
		if(dis[x]+e[i].v-w<dis[e[i].to]){
			if(judge||vis[e[i].to]){judge=1;break;}
			dis[e[i].to]=dis[x]+e[i].v-w;
			spfa(e[i].to,w);
		}
	vis[x]=0;
}
int main(){
	n=read(),m=read();
	rep(i,1,m){int u=read(),v=read();scanf("%lf",&w);insert(u,v,w);}
	double l=-inf,r=inf;
	int T=66;
	while(T--){
		double mid=(l+r)/2;
		mem(vis,0);mem(dis,0);judge=0;
		rep(i,1,n){
			spfa(i,mid);
			if(judge)break;
		}
		if(judge)r=mid;else l=mid;
	}
	printf("%.8lf\n",l);
	return 0;
}
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