标签：Kruscal，次小生成树
题目
题目描述
小C最近学了很多最小生成树的算法，Prim算法、Kurskal算法、消圈算法等等。正当小C洋洋得意之时，小P又来泼小C冷水了。小P说，让小C求出一个无向图的次小生成树，而且这个次小生成树还得是严格次小的，也就是说：如果最小生成树选择的边集是EM，严格次小生成树选择的边集是ES，那么需要满足：(value(e)表示边e的权值) \(\sum_{e \in E_M}value(e)<\sum_{e \in E_S}value(e)\)
这下小 C 蒙了，他找到了你，希望你帮他解决这个问题。
输入输出格式
输入格式
第一行包含两个整数N 和M，表示无向图的点数与边数。 接下来 M行，每行 3个数x y z 表示，点 x 和点y之间有一条边，边的权值为z。
输出格式
包含一行，仅一个数，表示严格次小生成树的边权和。(数据保证必定存在严格次小生成树)
输入输出样例
输入样例#1
5 6
1 2 1
1 3 2
2 4 3
3 5 4
3 4 3
4 5 6
输出样例#1
11
说明
数据中无向图无自环； 50% 的数据N≤2 000 M≤3 000； 80% 的数据N≤50 000 M≤100 000； 100% 的数据N≤100 000 M≤300 000 ，边权值非负且不超过 10^9 。
分析
用kruskal求出最小生成树
之后用树上倍增求出最大边和次大边
预处理中关于\(i->f[i][j]\)与\(f[i][j]->f[f[i][j]][j]\)这两段的合并，分别讨论这两段的最大值相同与不同的情况
- 相同，次大值是这两个的次大值的最大值
- 不同，假设\((a,b),(c,d)\)表示两段的(最大,次大)，若\(a>c\),显然次大为\(max(b,c)\)
code
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ll long long
#define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x)
#define reg(x) for(int i=last[x];i;i=e[i].next)
using namespace std;
inline ll read(){
ll f=1,x=0;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
//**********head by yjjr**********
#define inf 0x3f3f3f3f
const int maxn=1e5+6;
int n,m,num=0,cnt=0,mn=inf;
int f[maxn],last[maxn],deep[maxn],fa[maxn][26],d1[maxn][26],d2[maxn][26];
ll ans;
struct node{int x,y,v;bool fl;}a[maxn*3];
struct edge{int to,next,v;}e[maxn*3];
inline bool cmp(node a,node b){return a.v<b.v;}
inline int find(int x){return x==f[x]?x:f[x]=find(f[x]);}
void insert(int u,int v,int w){
e[++cnt]=(edge){v,last[u],w};last[u]=cnt;
e[++cnt]=(edge){u,last[v],w};last[v]=cnt;
}
void dfs(int x,int Fa){
rep(i,1,16){
if(deep[x]<(1<<i))break;
fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
d1[x][i]=max(d1[x][i-1],d1[fa[x][i-1]][i-1]);
if(d1[x][i-1]==d1[fa[x][i-1]][i-1])d2[x][i]=max(d2[x][i-1],d2[fa[x][i-1]][i-1]);
else{
d2[x][i]=min(d1[x][i-1],d1[fa[x][i-1]][i-1]);
d2[x][i]=max(d2[x][i-1],d2[x][i]);
d2[x][i]=max(d2[x][i],d2[fa[x][i-1]][i-1]);
}
}
reg(x){
int v=e[i].to;
if(v==Fa)continue;
fa[v][0]=x;
d1[v][0]=e[i].v;
deep[v]=deep[x]+1;
dfs(v,x);
}
}
inline int lca(int x,int y){
if(deep[x]<deep[y])swap(x,y);
int tmp=deep[x]-deep[y];
rep(i,0,16)
if((1<<i)&tmp)x=fa[x][i];
dep(i,16,0)
if(fa[x][i]!=fa[y][i])x=fa[x][i],y=fa[y][i];
if(x==y)return x;else return fa[x][0];
}
void cal(int x,int Fa,int v){
int mx1=0,mx2=0;
int tmp=deep[x]-deep[Fa];
rep(i,0,16)
if(tmp&(1<<i)){
if(d1[x][i]>mx1){mx2=mx1;mx1=d1[x][i];}
mx2=max(mx2,d2[x][i]);
x=fa[x][i];
}
if(mx1!=v)mn=min(mn,v-mx1);else mn=min(mn,v-mx2);
}
void solve(int t,int v){
int x=a[t].x,y=a[t].y,Fa=lca(x,y);
cal(x,Fa,v);cal(y,Fa,v);
}
int main()
{
//freopen("in.txt","r",stdin);
//freopen("out.txt","w",stdout);
n=read(),m=read();
rep(i,1,n)f[i]=i;
rep(i,1,m){a[i].x=read(),a[i].y=read(),a[i].v=read();}
sort(a+1,a+1+m,cmp);
rep(i,1,m){
int root1=find(a[i].x),root2=find(a[i].y);
if(root1!=root2){
f[root1]=root2;
ans+=a[i].v;
a[i].fl=1;
insert(a[i].x,a[i].y,a[i].v);
num++;if(num==n-1)break;
}
//cout<<i<<endl;
}//puts("RR");
dfs(1,0);
rep(i,1,m)if(!a[i].fl)solve(i,a[i].v);
cout<<ans+mn<<endl;
return 0;
}
