标签：积性函数，构造
题目
函数（function）
【题目描述】 \(构造一个完全积性函数f（即f(xy)=f(x)f(y)），满足|f(i)|=1，并最小化max_{1≤k≤n} |\sum_{i=1}^k f(i) |。\)
【输入数据】 一行一个整数n。
【输出数据】 一行n个整数表示f(1)~f(n)。
【数据范围】 本题只有1个测试点，n=10^6。
【评分方式】 记你的答案为out，std的答案为ans，则你的得分为⌊100√(ans/out)⌋
分析
由于f是积性函数，因此f(1)=1，并且只需要确定所有质数的函数值。 对于质数x，若x mod 3 = 1，取f(x)=1，否则取f(x)=-1。 设s(x)表示f的前缀和，那么s(x)=-s(x/3)+0或1 因此|s(x)|<= ⌈log3n/2⌉
但是好像有人暴搜跑出来了n=10^6 ， ans=6，所以不敢确定std正确性
code
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ll long long
#define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x)
#define reg(x) for(int i=last[x];i;i=e[i].next)
using namespace std;
inline ll read()
{
ll f=1,x=0;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
const int maxn=1e6+6;
int prime[maxn],cnt,f[maxn],n;
bool is_prime[maxn];
void getprime(){
rep(i,2,maxn-6){
if(!is_prime[i])prime[++cnt]=i;
rep(j,1,cnt){
if(prime[j]*i>maxn-6)break;
is_prime[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0)break;
}
}
}
int main()
{
getprime();
f[1]=1;f[2]=-1;f[3]=-1;
rep(i,3,cnt)if(prime[i]%6==5)f[prime[i]]=-1;else if(prime[i]%6==1)f[prime[i]]=1;
rep(i,2,maxn-6)
rep(j,2,i){
if(i*j>maxn-6)break;
f[i*j]=f[i]*f[j];
}
n=read();
int s=0,ans=0;
rep(i,1,n){s+=f[i];if(s)ans=max(ans,s);}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
