标签：数学，数论，卡特兰数，组合数，素数筛
Description
我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：
(1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{ai}；
(2)所有的奇数项满足a1<a3<…<a2n-1，所有的偶数项满足a2<a4<…<a2n；
(3)任意相邻的两项a2i-1与a2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：a2i-1<a2i。
现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。
Input
输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。输入数据保证，50%的数据满足n≤1000，100%的数据满足n≤1000000且P≤1000000000。
Output
仅含一个整数，表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。
Sample Input
310
Sample Output
5
对应的5个有趣的数列分别为（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。
大胆玄学猜想：答案就是卡特兰数！事实证明的确如此
具体证明：从左往右扫每个数，把放在奇数项看作入栈，放在偶数项看作出栈（妙不可言……）
然后需要O（n）求出卡特兰数
百度公式： F(n)=C(2n,n)/(n+1)
将C(2n,n)质因数分解，记录下每个质因数的个数，最后再相乘取模即可
Code
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define LL long long
#define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x)
using namespace std;
inline LL read()
{
LL f=1,x=0;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
const LL maxn=1e6+6;
LL ans=1,n,p,cnt=0;
LL prime[maxn],mn[maxn<<1],num[maxn<<1];
bool not_prime[maxn<<1];
void getpri()
{
rep(i,2,2*n){
if(!not_prime[i])prime[++cnt]=i,mn[i]=cnt;
for(int j=1;prime[j]*i<=2*n&&j<=cnt;j++){
not_prime[prime[j]*i]=1;mn[prime[j]*i]=j;
if(i%prime[j]==0)break;
}
}
}
void add(int x,int f)
{
while(x!=1){
num[mn[x]]+=f;
x/=prime[mn[x]];
}
}
int main()
{
n=read(),p=read();
getpri();
dep(i,2*n,n+1)add(i,1);
rep(i,1,n)add(i,-1);
add(n+1,-1);
rep(i,1,cnt)
while(num[i]--)ans=(ans*prime[i])%p;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
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