标签：DP
题目描述
有两个仅包含小写英文字母的字符串 A 和 B。现在要从字符串 A 中取出 k 个互不重叠的非空子串,然后把这 k 个子串按照其在字符串 A中出现的顺序依次连接起来得到一 个新的字符串,请问有多少种方案可以使得这个新串与字符串 B 相等?注意:子串取出的位置不同也认为是不同的方案。
输入输出格式
输入格式：
输入文件名为 substring.in。
第一行是三个正整数 n,m,k,分别表示字符串 A 的长度,字符串 B 的长度,以及问
题描述中所提到的 k,每两个整数之间用一个空格隔开。 第二行包含一个长度为 n 的字符串,表示字符串 A。第三行包含一个长度为 m 的字符串,表示字符串 B。
输出格式：
输出文件名为 substring.out。 输出共一行,包含一个整数,表示所求方案数。由于答案可能很大,所以这里要求[b]输出答案对1,000,000,007 取模的结果。[/b]
输入输出样例
输入样例#1：
6 3 1
aabaab
aab
输出样例#1：
2
输入样例#2：
6 3 2
aabaab
aab
输出样例#2：
7
输入样例#3：
6 3 3
aabaab
aab
输出样例#3：
7
说明
对于第 1 组数据:1≤n≤500,1≤m≤50,k=1;
对于第 2 组至第 3 组数据:1≤n≤500,1≤m≤50,k=2; 对于第 4 组至第 5 组数据:1≤n≤500,1≤m≤50,k=m; 对于第 1 组至第 7 组数据:1≤n≤500,1≤m≤50,1≤k≤m;对于第 1 组至第 9 组数据:1≤n≤1000,1≤m≤100,1≤k≤m; 对于所有 10 组数据:1≤n≤1000,1≤m≤200,1≤k≤m。
题意：
给出两个字符串，长度为 n 的 A 和长度为 m 的 B，现在要 在 A 串中取出 k 串互不重叠的⼦串，使得这 k 个⼦串连接 起来之后和 B 串相同，问有多少种⽅案。
分析：
方法一：（如下代码）
这种数据范围也就只有DP可行了
记忆数组f[i][j][k][x]字符串a的前i个字符和字符串b的前j个字符用了k个子串
当x=0时表示字符串a的第i个字符必须被选中
当x=1时表示字符串a的第i个字符不能被选中
F[i][j][k][0]=f[i-1][j][k][0]+f[i-1][j][k][1];
F[i][j][k][1]=f[i-1][j-1][k][1]+f[i-1][j-1][k-1][0]+f[i-1][j-1][k-1][1];
Ans=f[n][m][k][0]+f[n][m][k][1]
空间问题可能会爆，可以使用滚动数组
方法二：dp计数
F[i][j][k]表示a[1..i]分成j段与b[1..k]相等的方案数
转移同样借助辅助数组g[i][j][k]表示当前这段还未分完的
这种方法是听武爷爷讲的，然而并不会写代码【无奈】
参考代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1005,maxm=205;
const long long Mod=1e9+7;
int n,m,kk;
long long f[2][maxm][maxm][2];
char a[maxn],b[maxn];
int main()
{
cin>>n>>m>>kk;
scanf("%s",a+1);scanf("%s",b+1);
f[0][0][0][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int op=i&1;
f[op][0][0][0]=1;
for(int j=1;j<=min(i,m);j++)
for(int k=1;k<=min(j,kk);k++)
{
f[op][j][k][0]=f[op][j][k][1]=0;
f[op][j][k][0]=(f[op^1][j][k][0]+f[op^1][j][k][1])%Mod;
if(a[i]==b[j])
f[op][j][k][1]=((f[op^1][j-1][k][1]+f[op^1][j-1][k-1][0])%Mod+f[op^1][j-1][k-1][1])%Mod;
}
}
cout<<(f[n&1][m][kk][0]+f[n&1][m][kk][1])%Mod<<endl;
return 0;
}
