标签：DP，逆元
题目
题目描述
Zeit und Raum trennen dich und mich.
时空将你我分开。
B 君在玩一个游戏，这个游戏由 n 个灯和 n 个开关组成，给定这 n 个灯的初始状态，下标为从 1 到 n 的正整数。
每个灯有两个状态亮和灭，我们用 1 来表示这个灯是亮的，用 0 表示这个灯是灭的，游戏的目标是使所有灯都灭掉。
但是当操作第 i 个开关时，所有编号为 i 的约数（包括 1 和 i）的灯的状态都会被改变，即从亮变成灭，或者是从灭变成亮。
B 君发现这个游戏很难，于是想到了这样的一个策略，每次等概率随机操作一个开关，直到所有灯都灭掉。
这个策略需要的操作次数很多， B 君想到这样的一个优化。如果当前局面，可以通过操作小于等于 k 个开关使所有灯都灭掉，那么他将不再随机，直接选择操作次数最小的操作方法（这个策略显然小于等于 k 步）操作这些开关。
B 君想知道按照这个策略（也就是先随机操作，最后小于等于 k 步，使用操作次数最小的操作方法）的操作次数的期望。
这个期望可能很大，但是 B 君发现这个期望乘以 n 的阶乘一定是整数，所以他只需要知道这个整数对 100003 取模之后的结果。
输入输出格式
输入格式
第一行两个整数 n, k。
接下来一行 n 个整数，每个整数是 0 或者 1，其中第 i 个整数表示第 i 个灯的初始情况。
输出格式
输出一行，为操作次数的期望乘以 n 的阶乘对 100003 取模之后的结果。
输入输出样例
输入样例#1
4 0
0 0 1 1
输出样例#1
512
输入样例#2
5 0
1 0 1 1 1
输出样例#2
5120
说明
• 对于 0% 的测试点，和样例一模一样；
• 对于另外 30% 的测试点， n ≤ 10；
• 对于另外 20% 的测试点， n ≤ 100；
• 对于另外 30% 的测试点， n ≤ 1000；
• 对于 100% 的测试点， 1 ≤ n ≤ 100000; 0 ≤ k ≤ n；
• 对于以上每部分测试点，均有一半的数据满足 k = n。
分析
显然，当k=n的情况，我们可以贪心从大到小扫一遍，遇到一个开着的灯就将其关闭，这也是唯一策略
考虑k < n的情况，初始总共有num盏灯处于点亮状态，需要将其关闭
f[i]表示由剩余i个灯关到i-1个灯的期望步数
其中有i/n盏灯为点亮状态，(n-i)/n为熄灭状态
可以得到转移\(f_i=\frac i n + \frac {n-i} n (1+f_{i+1}+f_i)\)
移向得到\(f_i=\frac {n+(n-i)F_{i+1}} i\)
这可以在O(n)的时间内处理出来
那么\(Ans=\sum_{i=k+1}^{num} f_i\)
注意阶乘和取模操作的时候可能会爆int
code
#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ll long long
#define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x)
#define reg(x) for(int i=last[x];i;i=e[i].next)
using namespace std;
inline ll read(){
ll f=1,x=0;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
//**********head by yjjr**********
const int maxn=2e5+6,mod=1e5+3;
int a[maxn],inv[maxn],f[maxn],ans,n,k;
int check(){
int re=0;
dep(i,n,1)
if(a[i]){
int blo=sqrt(i);re++;
rep(j,1,blo)
if(i%j==0){
a[j]^=1;
if(j*j!=i)a[i/j]^=1;
}
}
return re;
}
void getinv(){
inv[0]=inv[1]=1;
rep(i,2,n)inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
}
inline int jc(int x){int re=x;rep(i,1,n)re=1ll*re*i%mod;return re;}
int main()
{
n=read(),k=read();
rep(i,1,n)a[i]=read();
int num=check();
if(num<=k){printf("%d\n",jc(num));return 0;}
getinv();
f[n]=1;
dep(i,n-1,k)f[i]=1ll*(n+1ll*(n-i)*f[i+1]%mod)*inv[i]%mod;
dep(i,num,k+1)ans=(ans+f[i])%mod;
ans+=k;
printf("%d\n",jc(ans));
return 0;
}
