标签：分数规划，二分，SPFA
题目
题目描述
考虑带权的有向图\(G=(V,E)\)以及\(w:E\rightarrow R\),每条边\(e=(i,j)(i\neq j,i\in V,j\in V)\)的权值定义为\(w_{i,j}\)，令\(n=|V|\)。\(c=(c_1,c_2,\cdots,c_k)(c_i\in V)\)是\(G\)中的一个圈当且仅当\((c_i,c_{i+1})(1\le i<k)\)和\((c_k,c_1)\)都在\(E\)中，这时称\(k\)为圈\(c\)的长度同时令\(c_{k+1}=c_1\)，并定义圈\(c=(c_1,c_2,\cdots,c_k)\)的平均值为\(\mu(c)=\sum\limits_{i=1}^{k} w_{c_i,c_{i+1}}/k\)，即\(c\)上所有边的权值的平均值。令\(\mu'(c)=Min(\mu(c))\)为\(G\)中所有圈\(c\)的平均值的最小值。现在的目标是：在给定了一个图\(G=(V,E)\)以及\(w:E\rightarrow R\)之后，请求出\(G\)中所有圈\(c\)的平均值的最小值\(\mu'(c)=Min(\mu(c))\)
输入输出格式
输入格式
第一行2个正整数，分别为\(n\)和\(m\)，并用一个空格隔开，只用\(n=|V|,m=|E|\)分别表示图中有\(n\)个点\(m\)条边。 接下来m行，每行3个数\(i,j,w_{i,j}\)，表示有一条边\((i,j)\)且该边的权值为\(w_{i,j}\)。输入数据保证图\(G=(V,E)\)连通，存在圈且有一个点能到达其他所有点。
输出格式
请输出一个实数\(\mu'(c)=Min(\mu(c))\)，要求输出到小数点后8位。
输入输出样例
输入样例#1
4 5
1 2 5
2 3 5
3 1 5
2 4 3
4 1 3
输出样例#1
3.66666667
输入样例#2
2 2
1 2 -2.9
2 1 -3.1
输出样例#2
-3.00000000
说明
对于100%的数据，\(n\le 3000,m\le 10000,|w_{i,j}| \le 10^7\)
分析
分数规划典型题了
我们令环为\(S=\{v[i]\},\{e[i]\}\)，v[i]为环上节点的集合，e[i]为环上边的集合，记每条边的边权为\(e[i].w\)，每个点的点权为\(b[i]\)，所有点权都为1
那么先二分答案，然后寻找是否存在一个环，满足下列式子
\[\frac {\sum_{i=1}^t e[i].w} {\sum_{i=1}^t b[v_i]}\leq mid\]式子化简后
\[\sum_{i=1}^t (e[i].w-mid) < 0\]那么问题就转化为了判断图中是否存在负环
我们可以把每条边的边权看成\(e[i].w-mid\)，之后用SPFA判负环
code
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ll long long
#define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x)
#define reg(x) for(int i=last[x];i;i=e[i].next)
using namespace std;
inline ll read(){
ll f=1,x=0;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
//******head by yjjr******
#define inf 1e6
const int maxn=1e4+6;
int n,m,cnt=0,last[maxn],u[maxn],v[maxn],judge;
double w,dis[maxn];bool vis[maxn];
struct edge{int to,next;double v;}e[maxn];
void insert(int u,int v,double w){
e[++cnt]=(edge){v,last[u],w};last[u]=cnt;
}
void spfa(int x,double w){
vis[x]=1;
reg(x)
if(dis[x]+e[i].v-w<dis[e[i].to]){
if(judge||vis[e[i].to]){judge=1;break;}
dis[e[i].to]=dis[x]+e[i].v-w;
spfa(e[i].to,w);
}
vis[x]=0;
}
int main(){
n=read(),m=read();
rep(i,1,m){int u=read(),v=read();scanf("%lf",&w);insert(u,v,w);}
double l=-inf,r=inf;
int T=66;
while(T--){
double mid=(l+r)/2;
mem(vis,0);mem(dis,0);judge=0;
rep(i,1,n){
spfa(i,mid);
if(judge)break;
}
if(judge)r=mid;else l=mid;
}
printf("%.8lf\n",l);
return 0;
}
