洛谷4180 【模板】严格次小生成树[bjwc2010]

严格次小生成树模板题

Posted by yjjr's blog on October 30, 2018

标签:Kruscal,次小生成树

题目

题目传送门

题目描述

小C最近学了很多最小生成树的算法,Prim算法、Kurskal算法、消圈算法等等。正当小C洋洋得意之时,小P又来泼小C冷水了。小P说,让小C求出一个无向图的次小生成树,而且这个次小生成树还得是严格次小的,也就是说:如果最小生成树选择的边集是EM,严格次小生成树选择的边集是ES,那么需要满足:(value(e)表示边e的权值)

这下小 C 蒙了,他找到了你,希望你帮他解决这个问题。

输入输出格式

输入格式

第一行包含两个整数N 和M,表示无向图的点数与边数。 接下来 M行,每行 3个数x y z 表示,点 x 和点y之间有一条边,边的权值为z。

输出格式

包含一行,仅一个数,表示严格次小生成树的边权和。(数据保证必定存在严格次小生成树)

输入输出样例

输入样例#1

5 6
1 2 1 
1 3 2 
2 4 3 
3 5 4 
3 4 3 
4 5 6 

输出样例#1

11

说明

数据中无向图无自环; 50% 的数据N≤2 000 M≤3 000; 80% 的数据N≤50 000 M≤100 000; 100% 的数据N≤100 000 M≤300 000 ,边权值非负且不超过 10^9 。

分析

用kruskal求出最小生成树

之后用树上倍增求出最大边和次大边

预处理中关于这两段的合并,分别讨论这两段的最大值相同与不同的情况

  • 相同,次大值是这两个的次大值的最大值
  • 不同,假设表示两段的(最大,次大),若,显然次大为

code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ll long long
#define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x)
#define reg(x) for(int i=last[x];i;i=e[i].next)
using namespace std;
inline ll read(){
	ll f=1,x=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
//**********head by yjjr**********
#define inf 0x3f3f3f3f
const int maxn=1e5+6;
int n,m,num=0,cnt=0,mn=inf;
int f[maxn],last[maxn],deep[maxn],fa[maxn][26],d1[maxn][26],d2[maxn][26];
ll ans;
struct node{int x,y,v;bool fl;}a[maxn*3];
struct edge{int to,next,v;}e[maxn*3];
inline bool cmp(node a,node b){return a.v<b.v;}
inline int find(int x){return x==f[x]?x:f[x]=find(f[x]);}
void insert(int u,int v,int w){
	e[++cnt]=(edge){v,last[u],w};last[u]=cnt;
	e[++cnt]=(edge){u,last[v],w};last[v]=cnt;
}
void dfs(int x,int Fa){
	rep(i,1,16){
		if(deep[x]<(1<<i))break;
		fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
		d1[x][i]=max(d1[x][i-1],d1[fa[x][i-1]][i-1]);
		if(d1[x][i-1]==d1[fa[x][i-1]][i-1])d2[x][i]=max(d2[x][i-1],d2[fa[x][i-1]][i-1]);
		else{
			d2[x][i]=min(d1[x][i-1],d1[fa[x][i-1]][i-1]);
			d2[x][i]=max(d2[x][i-1],d2[x][i]);
			d2[x][i]=max(d2[x][i],d2[fa[x][i-1]][i-1]);
		}
	}
	reg(x){
		int v=e[i].to;
		if(v==Fa)continue;
		fa[v][0]=x;
		d1[v][0]=e[i].v;
		deep[v]=deep[x]+1;
		dfs(v,x);
	}
}
inline int lca(int x,int y){
	if(deep[x]<deep[y])swap(x,y);
	int tmp=deep[x]-deep[y];
	rep(i,0,16)
		if((1<<i)&tmp)x=fa[x][i];
	dep(i,16,0)
		if(fa[x][i]!=fa[y][i])x=fa[x][i],y=fa[y][i];
	if(x==y)return x;else return fa[x][0];
}
void cal(int x,int Fa,int v){
	int mx1=0,mx2=0;
	int tmp=deep[x]-deep[Fa];
	rep(i,0,16)
		if(tmp&(1<<i)){
			if(d1[x][i]>mx1){mx2=mx1;mx1=d1[x][i];}
			mx2=max(mx2,d2[x][i]);
			x=fa[x][i];
		}
	if(mx1!=v)mn=min(mn,v-mx1);else mn=min(mn,v-mx2);
}
void solve(int t,int v){
	int x=a[t].x,y=a[t].y,Fa=lca(x,y);
	cal(x,Fa,v);cal(y,Fa,v);
}
int main()
{
	//freopen("in.txt","r",stdin);
	//freopen("out.txt","w",stdout); 
	n=read(),m=read();
	rep(i,1,n)f[i]=i;
	rep(i,1,m){a[i].x=read(),a[i].y=read(),a[i].v=read();}
	sort(a+1,a+1+m,cmp);
	rep(i,1,m){
		int root1=find(a[i].x),root2=find(a[i].y);
		if(root1!=root2){
			f[root1]=root2;
			ans+=a[i].v;
			a[i].fl=1;
			insert(a[i].x,a[i].y,a[i].v);
			num++;if(num==n-1)break;
		}
		//cout<<i<<endl;
	}//puts("RR");
	dfs(1,0);
	rep(i,1,m)if(!a[i].fl)solve(i,a[i].v);
	cout<<ans+mn<<endl;
	return 0;
}
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