杭二集训 质数

简单智商题

Posted by yjjr's blog on January 15, 2018

标签:哥德巴赫猜想

题目

质数(prime)

【题目描述】 将1~n分成尽可能少的集合,使得每个集合的元素和均为质数。

【输入数据】 一行一个正整数n。

【输出数据】 第一行一个正整数m表示最少集合数,第二行n个[1,m]中的整数,第i个整数表示i在第几个集合中。若有多种方案输出任意一种即可。若无解输出-1。

【样例输入】 8

【样例输出】 2 1 2 2 1 1 1 1 2

【数据范围】 对于30%的数据,n<=20。 对于100%的数据,n<=6000。

分析

  1. m为质数,那么直接输出1
  2. m为合数且为偶数,根据哥德巴赫猜想:任何一个大于2的偶数都能表示为两个质数的和,输出2
  3. m为合数且为奇数,如果m-2为质数的话,那么分为2和m-2两个质数,答案为2,
  4. m为合数且为奇数,如果m-2不是质数的话,分为3和m-3,其中m-3确定为偶数,再次根据哥德巴赫猜想,可以将m-3再次划分为2组,所以答案为3
  5. n==1或0,那么输出无解-1

code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ll long long
#define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x)
#define reg(x) for(int i=last[x];i;i=e[i].next)
using namespace std;
inline ll read()
{
	ll f=1,x=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
const int maxn=1e6+6;
bool is_prime[maxn];
int prime[maxn],cnt,n,vis[maxn];
ll s;
void getprime(){
	rep(i,2,maxn-6){
		if(!is_prime[i])prime[++cnt]=i;
		rep(j,1,cnt){
			if(prime[j]*i>maxn-6)break;
			is_prime[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)break;
		}
	}
}

bool check(ll x){
	rep(i,2,trunc(sqrt(x))+1)
		if(x%i==0)return 0; 
	return 1;
}

int main()
{
	getprime();
	n=read();
	if(n==0||n==1){cout<<"-1\n";return 0;}
	rep(i,1,n)s+=i;
	//cout<<s<<endl;
	if(check(s)){
		cout<<'1'<<endl;
		rep(i,1,n)cout<<"1 ";cout<<endl;
		return 0;
	}else if(s%2==0){
		rep(i,1,cnt)
			if(check(s-prime[i])){vis[prime[i]]=1;break;}
		cout<<'2'<<endl;
		rep(i,1,n)if(vis[i])cout<<"2 ";else cout<<"1 ";cout<<endl;
		return 0;
	}else if(check(s-2)){
		cout<<'2'<<endl;vis[2]=1;
		rep(i,1,n)if(vis[i])cout<<"2 ";else cout<<"1 ";cout<<endl;
		return 0;
	}else {
		cout<<'3'<<endl;vis[3]=2;
		rep(i,1,cnt){
			if(prime[i]==3)continue;
			if(check(s-3-prime[i])){vis[prime[i]]=1;break;}
		}
		rep(i,1,n)if(!vis[i])cout<<"3 ";else cout<<vis[i]<<' ';cout<<endl;
		return 0;
	}
}
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