Bzoj2818 gcd

Posted by yjjr's blog on February 6, 2018

标签:数学,数论,欧拉函数,线性筛

Description

给定整数N,求1<=x,y<=NGcd(x,y)为素数的
数对(x,y)有多少对.

Input

一个整数N

Output

如题

Sample Input

4

Sample Output

4

HINT

hint
对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2)

1<=N<=10^7

 

分析: gcd(a,b)=p可以转化为gcd(a/p,b/p)=1,这样我们就可以枚举所有的a,b,不妨设a>b,那么给定的a,b个数就是phi(a)(表示小于a的正整数中与a互质的数目)

因为是有序的(即(2,4)(4,2)算两次),所以ans*2

但漏算了(1,1)ans补上就可以了

对于phiO(n)计算,记住这三条递推式就可以了(当然也要提前用筛法计算质数)
1.
x为质数时,phi[x]=x-1

2.i mod x==0时(x为质数)phi[x*i]=phi[i]*j

3.当i mod x0时(x为质数)phi[x*i]=phi[i]*(j-1)

 

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x)
#define LL long long
using namespace std;
inline LL read()
{
	LL f=1,x=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
const LL maxn=1e7+6;
LL n,prime[maxn],top,ans,phi[maxn];
bool not_prime[maxn];
void shaker()
{
	int j;phi[1]=1;
	rep(i,2,n){
		if(!not_prime[i]){prime[++top]=i;phi[i]=i-1;}
		for(j=1;j<=top&&i*prime[j]<=n;j++){
			not_prime[prime[j]*i]=1;
			if(i%prime[j]==0){phi[prime[j]*i]=phi[i]*prime[j];break;}
			phi[prime[j]*i]=phi[i]*(prime[j]-1);
		}
	}
}
int main()
{
	n=read();
	shaker();
	rep(i,1,n)phi[i]+=phi[i-1];
	rep(i,1,top)ans+=phi[n/prime[i]];
	cout<<ans*2-top<<endl;
}


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