标签：FFT
题目
Description 给出两个n位10进制整数x和y，你需要计算xy。 Input 第一行一个正整数n。 第二行描述一个位数为n的正整数x。 第三行描述一个位数为n的正整数y。 Output 输出一行，即xy的结果。 Sample Input 1
3
4
Sample Output 12
数据范围：
n<=60000
分析
FFT模板题，理解起来好困难啊，照着黄学长的代码敲的，看来我不适合学习FFT。。。
bzoj100题纪念！！！
快速傅里叶变换FFT*
复数和复平面
我们把形如a+bi（a,b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数可以视为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。
其中i是方程$x^2=-1$的根，相当于$\sqrt{-1} $（注意只是相当于，易于理解！！！）
将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作$∣z∣$ 即对于复数$z=a+bi$，它的模为$\sqrt{a^2+b^2}$
称复数$z’=a-bi$为z的共轭复数。即两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。
运算法则和普通多项式类似
复平面就是将$z=a+bi$在平面上表示为（a,b），x轴为实部单位1，y轴为虚部单位i
多项式的表达方式
系数表达和点值表达
系数表达就是大家常用的表达方式，点值表达就像在这个多项式函数上取n个不同的点，这样就可以确定原多项式。
举个栗子
我们通过三点可以确定一个二次函数，两点确定一条直线。一个n次多项式需要n个点(n次多项式意思是有0到n-1次幂的多项式)。
$f(x)=x^2+2x-1$可以被表达为${ ( 0 , -1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 7 ) }$
将多项式用点值表达可以快速加法和乘法
单位根
这样算出来的点值表示法，那么对应的求值点究竟是哪些呢？
答案是2n次单位根。
数学上，n次单位根是n次幂为1的复数。它们位于复平面的单位圆上，构成正n边形的顶点，其中一个顶点是1。
复数中1恰好有n个单位根$e^{2k\pi i/n}$
$e^{ix}=cos\ x+i\ sin\ x$
DFT和FFT
使用单位根计算点值表达式叫DFT（离散傅里叶变换）复杂度$O(n^2)$，FFT是其分治的优化版，复杂度$O(n\ log\ n)$
//以下部分看不懂的可以跳过（本部分引用自picks博客http://picks.logdown.com/posts/177631-fast-fourier-transform）
假如我们取单位根的幂进行转换，会有什么效果？
设$A_0 (x)$是$A(x)$的偶次项的和，$A_1(x)$是奇次项的和。那么：
\begin{eqnarray}
A(\omega_{n}^{m})&=&A_0((\omega_{n}^{m})^{2})+\omega_{n}^{m}A_1((\omega_{n}^{m})^{2})
&=& A_0(\omega_{\frac{n}{2}}^{m})+\omega_{n}^{m}A_1(\omega_{\frac{n}{2}}^{m})
A(\omega_{n}^{m+\frac{n}{2}})&=&A_0((\omega_{n}^{m})^{2})+\omega_{n}^{m+\frac{n}{2}}A_1((\omega_{n}^{m})^{2})
&=& A_0(\omega_{\frac{n}{2}}^{m})-\omega_{n}^{m}A_1(\omega_{\frac{n}{2}}^{m})
\end{eqnarray}
即我们只要有了$A_0 (x)A_1(x)$的点值表示，就能在$O(n)$时间内算出$A(x)$的点值表示。
code
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<complex>
#define pi acos(-1)
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ll long long
#define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x)
using namespace std;
inline ll read()
{
ll f=1,x=0;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
const int maxn=2e5+6;
typedef complex<double> E;
int n,m,L;
char ch[maxn];
int R[maxn],c[maxn];
E a[maxn],b[maxn];
void fft(E *a,int f)
{
rep(i,0,n-1)
if(i<R[i])swap(a[i],a[R[i]]);
for(int i=1;i<n;i<<=1){
E wn(cos(pi/i),f*sin(pi/i));
for(int j=0;j<n;j+=(i<<1)){
E w(1,0);
for(int k=0;k<i;k++,w*=wn){
E x=a[j+k],y=w*a[j+k+i];
a[j+k]=x+y;
a[j+k+i]=x-y;
}
}
}
if(f==-1)rep(i,0,n-1)a[i]/=n;
}
int main()
{
n=read();n--;
scanf("%s",ch);
rep(i,0,n)a[i]=ch[n-i]-'0';
scanf("%s",ch);
rep(i,0,n)b[i]=ch[n-i]-'0';
m=2*n;
for(n=1;n<=m;n<<=1)L++;
rep(i,0,n-1)R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
fft(a,1);fft(b,1);
rep(i,0,n)a[i]*=b[i];
fft(a,-1);
rep(i,0,m)c[i]=(int)(a[i].real()+0.1);
rep(i,0,m)
if(c[i]>=10){
c[i+1]+=c[i]/10,c[i]%=10;
if(i==m)m++;
}
dep(i,m,0)printf("%d",c[i]);
return 0;
}
