O(n^2)
杨辉三角递推
$C(i,j)=C(i-1,j)+C(i-1,j-1)$
题目详见NOIP2016D2T1
code
for(int i=2;i<=maxn;i++)
for(int j=2;j<i;j++)
c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%k;
利用乘法逆元
乘法逆元：$(a/b)\%p=a*(b^{p-2})$ （p为素数）
如果p为素数，那么k的逆元就是$k^(p-2)$
逆元可以利用扩展欧几里德或欧拉函数求得
$C(N,M)=N!/(M!*(N-M)!)$
那么可以先计算出N!,M!,(N-M)!对p取模的余数，那么转化为$a/b=x%p$的问题
因为p为素数，所以等价于$bx+py=a$
然后用扩展的欧几里得定理算出 $bx’+py’=1$的解，
$x=x’*a$
就得到了最终的x的值，即$C(m,n)%p$得值
题目详见雅礼集训题目
code
ll inv(ll a){
return a==1?1:(ll)(p-p/a)*inv(p%a)%p;
}
ll C(ll n,ll m){
if(m<0||n<m)return 0;if(m>n-m)m=n-m;
ll up=1,down=1;
rep(i,0,m-1){up=up*(n-i)%p;down=down*(i+1)%p;}
return up*inv(down)%p;
}
Lucas求组合数
用Lucas定理求组合数，适用于模数p较小的情况
$Lucas(n,m,p)=C(n\%p,m\%p)*Lucas(n/p,m/p,p) $
题目详见洛谷2675
code
void work()
{
fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
rep(i,2,p-1)fac[i]=fac[i-1]*i%p; //阶乘预处理
rep(i,2,p-1)inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
rep(i,1,p-1)inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%p; //逆元预处理
}
ll C(ll n,ll m)
{
if(n<m)return 0; //舍去组合数无意义的情况
if(n<p&&m<p)return fac[n]*inv[m]%p*inv[n-m]%p;
return C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p;
}
