标签：网络流，费用流
题目
Description
皮卡丘被火箭队用邪恶的计谋抢走了！这三个坏家伙还给小智留下了赤果果的挑衅！为了皮卡丘，也为了正义，小智和他的朋友们义不容辞的踏上了营救皮卡丘的道路。
火箭队一共有N个据点，据点之间存在M条双向道路。据点分别从1到N标号。小智一行K人从真新镇出发，营救被困在N号据点的皮卡丘。为了方便起见，我们将真新镇视为0号据点，一开始K个人都在0号点。
由于火箭队的重重布防，要想摧毁K号据点，必须按照顺序先摧毁1到K-1号据点，并且，如果K-1号据点没有被摧毁，由于防御的连锁性，小智一行任何一个人进入据点K，都会被发现，并产生严重后果。因此，在K-1号据点被摧毁之前，任何人是不能够经过K号据点的。
为了简化问题，我们忽略战斗环节，小智一行任何一个人经过K号据点即认为K号据点被摧毁。被摧毁的据点依然是可以被经过的。
K个人是可以分头行动的，只要有任何一个人在K-1号据点被摧毁之后，经过K号据点，K号据点就被摧毁了。显然的，只要N号据点被摧毁，皮卡丘就得救了。
野外的道路是不安全的，因此小智一行希望在摧毁N号据点救出皮卡丘的同时，使得K个人所经过的道路的长度总和最少。
请你帮助小智设计一个最佳的营救方案吧！
Input
第一行包含三个正整数N，M，K。表示一共有N+1个据点，分别从0到N编号，以及M条无向边。一开始小智一行共K个人均位于0号点。
接下来M行，每行三个非负整数，第i行的整数为Ai，Bi，Li。表示存在一条从Ai号据点到Bi号据点的长度为Li的道路。 Output
仅包含一个整数S，为营救皮卡丘所需要经过的最小的道路总和。 Sample Input 3 4 2
0 1 1
1 2 1
2 3 100
0 3 1 Sample Output 3
【样例说明】
小智和小霞一起前去营救皮卡丘。在最优方案中，小智先从真新镇前往1号点，接着前往2号据点。当小智成功摧毁2号据点之后，小霞从真新镇出发直接前往3号据点，救出皮卡丘。 HINT
对于100%的数据满足N ≤ 150, M ≤ 20 000, 1 ≤ K ≤ 10, Li ≤ 10 000, 保证小智一行一定能够救出皮卡丘。至于为什么K ≤ 10，你可以认为最终在小智的号召下，小智，小霞，小刚，小建，小遥，小胜，小光，艾莉丝，天桐，还有去日本旅游的黑猫警长，一同前去大战火箭队。
Source
Day2
分析
最佳的营救方案走的是带限制的
所以可以预处理出dis[i][j]表示i到j不经过大于max(i,j)点中转的最短路
原题就转化为求k条路径覆盖，使得这些路径的权值和最小
建图：
将每个点拆成x和x’（1<=x<=n-1）
超级源点S->0流量k费用0
i’->j流量1费用dis[i][j]
S->i’流量1费用0
i->T流量1费用0
最小费用流即为答案
code
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ll long long
#define inf 1000000000
#define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x)
#define reg(x) for(int i=last[x];i;i=e[i].next)
using namespace std;
inline ll read()
{
ll f=1,x=0;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
const int maxn=306,maxm=1e5+6;
int S,T,ans,n,m,k,cnt=1,dis[maxn][maxn],que[maxm],d[maxn],last[maxn];
bool inq[maxn];
struct edge{int to,next,v,c;}e[maxm];
void insert(int u,int v,int w,int c){
e[++cnt]=(edge){v,last[u],w,c};last[u]=cnt;
e[++cnt]=(edge){u,last[v],0,-c};last[v]=cnt;
}
void floyd()
{
rep(K,0,n)
rep(i,0,n)
rep(j,0,n)
if((K<=i||K<=j)&&dis[i][j]>dis[i][K]+dis[K][j])dis[i][j]=dis[i][K]+dis[K][j];
}
bool spfa()
{
mem(inq,0);
int head=0,tail=1,now;
rep(i,0,T)d[i]=inf;
que[0]=T;d[T]=0;inq[T]=1;
while(head<tail){
now=que[head++];
reg(now)
if(e[i^1].v&&d[now]-e[i].c<d[e[i].to]){
d[e[i].to]=d[now]-e[i].c;
if(!inq[e[i].to])inq[e[i].to]=1,que[tail++]=e[i].to;
}
inq[now]=0;
}
if(d[S]!=inf)return 1;else return 0;
}
int dfs(int x,int f)
{
inq[x]=1;if(x==T)return f;
int used=0,w;
reg(x)
if(!inq[e[i].to]&&e[i].v&&d[x]-e[i].c==d[e[i].to]){
w=f-used;w=dfs(e[i].to,min(e[i].v,w));
ans+=w*e[i].c;
e[i].v-=w;e[i^1].v+=w;
used+=w;if(used==f)return f;
}
return used;
}
void zkw()
{
while(spfa()){
//cout<<"R";
inq[T]=1;
while(inq[T]){mem(inq,0);dfs(S,inf);}
}
}
int main()
{
n=read(),m=read(),k=read();
S=2*n+2,T=S+1;
rep(i,0,n)
rep(j,0,n)
if(i!=j)dis[i][j]=inf;
rep(i,1,m){
int u=read(),v=read(),w=read();
dis[u][v]=dis[v][u]=min(dis[u][v],w);
}
floyd();
rep(i,1,n){
insert(S,i+n+1,1,0);
insert(i,T,1,0);
}
insert(S,n+1,k,0);
rep(i,0,n)
rep(j,i+1,n)
if(dis[i][j]!=inf)insert(i+n+1,j,1,dis[i][j]);
zkw();
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
