标签：组合数，矩阵快速幂，倍增
题目
题目描述
组合数 C(n,m) 表示的是从 n 个互不相同的物品中选出 m 个物品的方案数。举个例子，从 (1;2;3) 三个物品中选择两个物品可以有 (1;2);(1;3);(2;3) 这三种选择方法。根据组合数的定义，我们可以给出计算组合数 C(n,m) 的一般公式：
\[C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}\]其中 \(n! = 1 × 2 × · · · × n\)。（特别的，当 \(n = 0\) 时， \(n! = 1\) ，当 \(m > n\)时，\(C_n^m =0\)）
小葱在 NOIP 的时候学习了 C(i,j) 和 k 的倍数关系，现在他想更进一步，研究更多关于组合数的性质。小葱发现， C(i,j) 是否是 k 的倍数，取决于 \(C(i,j)mod k \)是否等于 0，这个神奇的性质引发了小葱对 mod 运算（取余数）的兴趣。现在小葱选择了是四个整数n; p; k; r，小葱现在希望知道\(\sum_{i=0}^{\inf} C_{nk}^{ik+r} \mod p\)的值。
输入输出格式
输入格式
第一行有四个整数 n; p; k;r，所有整数含义见问题描述。
输出格式
一行一个整数代表答案。
输入输出样例
输入样例#1
2 10007 2 0
输出样例#1
8
输入样例#2
20 10007 20 0
输出样例#2
176
说明
• 对于 30% 的测试点， 1 ≤ n; k ≤ 30， p 是质数；
• 对于另外 5% 的测试点， p = 2；
• 对于另外 5% 的测试点， k = 1；
• 对于另外 10% 的测试点， k = 2；
• 对于另外 15% 的测试点， 1 ≤ n ≤ 10^3; 1 ≤ k ≤ 50， p 是质数；
• 对于另外 15% 的测试点， 1 ≤ n × k ≤ 10^6， p 是质数；
• 对于另外 10% 的测试点， 1 ≤ n ≤ 10^9; 1 ≤ k ≤ 50， p 是质数；
• 对于 100% 的测试点， 1 ≤ n ≤ 10^9; 0 ≤ r < k ≤ 50; 2 ≤ p ≤ 2^30 − 1。
分析
\(c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j]\)组合数只和上一行的状态有关
发现i是轮换的，复制矩阵到一个新矩阵，然后矩阵右移一格，加到新矩阵中。
所以可以矩阵快速幂解决
我是参见这位dalao的倍增写法
倍增写起来很容易
code
#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define ll long long
#define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x)
#define reg(x) for(int i=last[x];i;i=e[i].next)
using namespace std;
inline ll read(){
ll f=1,x=0;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
//**********head by yjjr**********
const int maxn=2e3+6;
struct arr{int s[maxn];}a,res;
ll n;int p,k,r;
inline arr operator * (arr u,arr b){
arr a=u;mem(u.s,0);
rep(i,0,k-1)
rep(j,0,k-1)
u.s[(i+j)%k]=(u.s[(i+j)%k]+1ll*a.s[i]*b.s[j])%p;
return u;
}
int main()
{
n=read(),p=read(),k=read(),r=read();
n=(ll)n*k;
a.s[0]=1;a.s[1%k]+=1;res.s[0]=1;
while(n){
if(n&1)res=res*a;
n>>=1,a=a*a;
}
cout<<res.s[r]<<endl;
return 0;
}
